高等数学上册ch1-1.2-数列的极限讲

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1、高等数学上册讲稿第一章第二节数列的极限教学目的：（1）理解数列极限的概念；（2）掌握极限的性质及四则运算法则；（3）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限.教学重点：数列极限的定义，极限的运算教学难点：数列极限的定义的理解与应用教学方法：讲授法教学时数：3课时极限理论是整个微积分理论的基础及基本工具，贯穿于整个课程之中.在各种类型的极限中，数列的极限是最简单的.一、数列的极限1.数列定义：自然数的函数的函数值按自然数n=1,2,…的自然顺序排成的一列数，称为一个数列，简记为{}，其中称为通项,n称为脚标.一般项：数列的

2、第项如：2.数列的极限（1）描述性定义对于数列，我们关心的当无限增大时，的变化趋势怎样？，特别的，是否无限地接近某一个定数？观察上面三个数列对于一个数列{}，如果无限增大时，无限地接近一个定数，称{}的极限是，记作：.由定义知：无极限（2）分析性定义对于收敛的数列，当充分大时，充分接近于，即可以充分的小．如：数列，观察可得：；此时；即当充分大时，可以充分的小，或要使5高等数学上册讲稿第一章足够的小，只要让充分大即可．对给定的，要使，显然只要，即当时，恒有；对给定的，要使，只要，即当时，恒有对给定的，如果要求，只要，即当时，

3、恒有，......一般地，对于任意小的正数，要使，只要；记，则当时，必有，从而有．定义：，，当时，恒有，则称数列收敛，并且以为极限，记作：（或）．否则称数列{}发散.或称数列{}的极限不存在.说明：①的任意小性；②的存在性，且不是唯一的，一般越小，越大．以上描述极限的方式称为语言，是对数列极限的精确数学描述，有很高的理论价值，还可以用来讨论验证一些极限问题．例1．证明：.证：，欲使，可取，当时，有,即：.例2．证明：.证：，欲使，只要，即可解得.从而，存在，当时，有，即．即：.说明：是不唯一的，如，欲使，只要5高等数学上册

4、讲稿第一章即：，取，当时，必有，则．二、收敛数列的性质1、唯一性：若数列收敛，则其极限是唯一的．证：（反证法）假设，，，不妨设，由定义取，当时，有与同时成立．取，则可得此不等式矛盾，表明所作的假设不成立，从而只有，唯一性得证．设｛｝是一个数列，如果存在正数M，使得一切都满足不等式

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6、≤M，则称数列｛｝是有界数列；如果这样的正数M不存在，则称｛｝是无界数列.2、有界性：收敛的数列一定是有界的数列．证：设数列收敛，则，，当时，总有．由的任意小性，不妨设，则当时，取，则对于任意的，都有，即数列有界．说明：1）有界性是数列收敛的必

7、要条件，但要注意有界数列不一定都收敛.2）无界数列必定发散.3、保号性：设且则当时，与同号.（证明略）4、有理运算法则：定理：设则注意：①定理中的(1)与(2)可以推广到有限个数列的情形.②应用四则运算法则时一定要注意前提条件：这是我们常常忽略的一件事情.例5．求解：原式＝.例6．求5高等数学上册讲稿第一章解：原式＝例7．求例8．求解：原式＝5、保序性：设若当时，有则（证明略）三、数列收敛准则准则I、(夹逼原理)设有数列，，满足①当时；②；则数列收敛于，即：．证：，即，当时，有，从而，与同时成立；即，同时成立，则，从而有，

8、证得：．说明：这个原理不仅给出了判定数列收敛的方法，而且也提供了一个求极限的方法.（例9．求极限．解：设，则，根据夹逼原理，．准则II、(单调有界定理)单调有界数列必有极限.例10.设证明数列的极限存在.例11.设，，，试证明存在，并求出极限值。解：，，，假设，有，根据数学归纳法，对所有的成立，即数列有界；又，即表明数列5高等数学上册讲稿第一章单调递增；根据极限存在准则，存在，设其为，则。利用等式两边取极限，可得：，即.内容小结:1.数列极限的“e–N”定义及应用2.收敛数列的性质;3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则

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