2014版高考数学一轮复习 8.5 空间向量及其运算 理 苏教版

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1、8.5空间向量及其运算一、填空题1．给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式

2、a＋b

3、＜

4、a

5、＋

6、b

7、的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.正确命题的序号是________．解析　只有命题③是正确命题．答案　③2.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若ab,则x=;若a∥b，则x=.解析∵ab,∴ab=(2-8-;若a∥b,而a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),∴b=-2a.答案-63．以下四个命题中正确的是________(填序号)．①空间的任何一个向量都可用其

8、他三个向量表示②若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底③△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0④任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案　②4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0；解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面

9、向量，即M、A、B、C四点共面．答案　③5．给出下列四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.其中真命题的序号是________．解析　其中①③为正确命题．答案　①③6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．解析　由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴∴t＝，μ＝，λ＝.答案　7．如图，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos

10、〈，〉的值为________．解析　设＝a，＝b，＝c由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且

11、b

12、＝

13、c

14、，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝

15、a

16、

17、c

18、－

19、a

20、

21、b

22、＝0，∴cos〈，〉＝0.答案　08．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋×(＋)－×＝＋＋∴x，y，z的值分别为，，.答案　，，9.设R，向量，且，则解析.答案10.△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C

23、(1,3,-1),则AC边上的高BD等于_______．解析设又.则.∴由得∴∴

24、

25、=5.答案511．在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．解析　设O＝a，O＝b，O＝c.设OA与BC所成的角为θ，则O·B＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋A)－a·(a＋A)＝a2＋a·A－a2－a·A＝24－16.∴cosθ＝＝＝.答案　12．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC

26、＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为________．解析　设＝a，＝b，＝c由已知条件

27、a

28、＝8，

29、b

30、＝4，

31、c

32、＝6〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°

33、

34、2＝

35、＋＋

36、2＝

37、－c＋b＋a

38、2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝68，则

39、

40、＝2.答案　2cm13．已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：①(＋＋)2＝3A1B12；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为

41、A··A

42、.其中正确命题的序号是________．解析　设正方体的棱长为1，①中(＋＋)2＝32＝3，故①

43、正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中

44、A··A

45、＝0.故④也不正确．答案　①②二、解答题14.已知向量=(1,-3,2),=(-2,1,1),O为原点,点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求

46、2+

47、;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得?解析(1)2+=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故

48、2+

49、.(2)假设存在一点E满足题意,即.=(-3,-1,4)+t(1