2016高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算教师用书 理 苏教版

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1、§8.5　空间向量及其运算1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，a与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta，①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－

2、t)＋t.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b

7、＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及应用向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模

8、a

9、夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　√　)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)(3)对

10、于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　)(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)(6)

11、a

12、－

13、b

14、＝

15、a＋b

16、是a、b共线的充要条件．(　×　)1．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝(用a，b，c表示)．答案　－a＋b＋c解析　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是．(填序号)①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；

17、④＋＋＋＝0.答案　③解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是．答案　和解析　因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)．4．如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝(用a，b，c表示)．答案　a＋b＋c解析　＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.题型一　空间向量的线性运算例1　三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，

18、BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.思维点拨　利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋[(＋)－]＝－＋＋.＝＋＝－＋＋＝＋＋.思维升华　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示.解　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋

19、＝－－.题型二　共线定理、共面定理的应用例2　已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．思维点拨　对于(1)，只要证出向量＝＋即可；对于(2)，只要证出与共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示．证明　(1)连结BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理的推论知：

20、E、F、G、H四点共面．(2)因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知＝，同理＝，所以＝，即E