2019-2020年高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算试题 理 苏教版

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习8.5空间向量及其运算试题理苏教版一、填空题1．给出下列四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.其中真命题的序号是________．解析　其中①③为正确命题．答案　①③2.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示为________．解析　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋

2、b＋c.答案　－a＋b＋c3．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值是________．解析　由题意知：解得或答案　2，或－3，4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则

3、b－a

4、的最小值为________．解析　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴

5、b－a

6、＝＝，∴当t＝时，

7、b－a

8、取得最小值为.答案　5.如图，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．解析　设＝a，＝b，＝c由已知条件〈a，

9、b〉＝〈a，c〉＝，且

10、b

11、＝

12、c

13、，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝

14、a

15、

16、c

17、－

18、a

19、

20、b

21、＝0，∴cos〈，〉＝0.答案　06．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7

22、a

23、2＋16a·b－15

24、b

25、2＝0，及(a－4b)·(7a－2b)＝7

26、a

27、2＋8

28、b

29、2－30a·b＝0.两式相减，得46a·b＝23

30、b

31、2，∴a·b＝

32、b

33、2.代入上面两个式子中任意一个，即可得到

34、a

35、＝

36、b

37、.∴cos〈a，b

38、〉＝＝＝.∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.答案　60°7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则

39、

40、为________．　解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴

41、

42、＝＝a.答案　a8．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．①＝2－－；②＝

43、＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0；解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．答案　③9．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．解析　

44、a

45、＝＝3，

46、b

47、＝＝3，a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四边形＝

48、a

49、

50、b

51、sin〈a，b〉＝.答案　10．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：①(＋＋)2＝3A1B12；②·(－)＝0；③向量与向量的夹

52、角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为

53、A··A

54、.其中正确命题的序号是________．解析　设正方体的棱长为1，①中(＋＋)2＝32＝3，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中

55、··

56、＝0.故④也不正确．答案　①②二、解答题11．若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.解　ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k

57、＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴＝＝，解得k＝－.(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0.解得k＝.12.如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．解　(1)设A＝p，A＝q，A＝r.由题意可知：

58、p

59、＝

60、q

61、＝

62、r

63、＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为6

64、0°.M＝A－A＝(A＋A)－A＝(q＋r－p)，∴M·A＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2·cos60°＋a2·cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.(2)由(1)可知，MN＝(q＋r－p)．∴

65、M2

66、＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝＝×2a2＝.∴

67、M

68、＝a，∴MN的长为a.13．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e