导数的概念与运算microsoftw

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1、3.1—3.2导数概念与运算教学案一、明确学习目标1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.二．建构知识网络1．导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数，记作；2．导数的

2、几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处的切线的斜率，即斜率为f′(x0).过点P的切线方程为：y-y0=f′(x0)(x-x0).3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f′(x0)，从而构成了一个新的函数f′(x0),称这个函数f′(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导函数

3、y=f(x)在点x0处连续.5.依定义求导数的方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数＝6．几种常见函数的导数：(C为常数)；()；；；；；；。7．导数的四则运算法则：；；；8．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或=f′(u)′(x).9.求导数的方法:(1)求导公式;(2)导数的四则运算法则;(3)复合函数的求导公式;(4)导数定义.三、双基题目练练手1.在曲线y=x2+1

4、的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（）A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－2.设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于（）A.B.C.D.3．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（）A．sinx　B．－sinx　C．cosx　D．－cosx4.设函数,集合,若,则实数的取值范围是()A．B．C．D．5.设函数若是奇函数，则__________6．设函数若该函数在实

5、数集R上可导，则该函数的最小值是____．7.过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.8．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　简答:1－4.CDCC；5.；6.答案:－.依题意作图易得函数的最小值是f()＝－7.（1，e）e；8.2n+1-2.四、经典例题做一做【例1】求下列函数的导数：（1）y=（2）y=ln（x＋）;（３）y=;解:（1）y′===（2）y′=·（x＋）′=（1＋）=（３）y′==◆提炼方法：题（1）是导数的四则运算法则；題（2）（3）是复合函数的求导方法

6、.都是导数问题的基础.【例2】（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数　　解：（1），　　，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0　　因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1　　（2）　　　　解题点评:切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.【例3】若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f

7、（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数.分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求f′（x），然后判断其奇偶性.（1）解:设f（－x）=g（x）,则g′（a）===－=－f′（－a）∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.（2）证明:f′（－x）===－=－f′（x）∴f′（x）为奇函数.解题点注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.【例4】已知函数＝x3+x2，数列{xn}（xn>0）的第一项x

8、1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n时：（I）；（II）证明：（I）∵∴曲线在处的切线斜率∵过和两点的直线斜率是∴.（II）∵函数当时单调递增，而，