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1、高三第一轮复习数学---导数的概念与运算一、教学目标：了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的几何意义，理解导函数的几何意义，理解导函数的概念。熟记基本导数公式，掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。二、教学重点：理解导函数的几何意义，理解导函数的概念。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。三、教学过程：（一）主要知识：(一)导数的概念:1．设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函
2、数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即：练习：若，则(-1)2．如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。3．可导函数是光滑连续函数（二）导数的几何意义：一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为. 如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限
3、为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.，所以在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。(三)基本公式（1）;（2）（nÎQ）;（3）,;（4）,;（5）,;（6）;（7）,;（8）(四)复合函数的导数:设有函数,,且在点处有
4、导数,在点的对应点处也有导数,则复合函数在点处有导数,并且.注：求复合函数的导数时,应选好中间变量,搞清复合关系.（二）例题分析：例1、用定义求在点x=10处的导数。解:即例2求下列函数的导数：(1)y=(2x2-1)(3x+1)(2)(3)(4)(5)(6)解：（１）,(2);(3),(4);(5),(6).思维点拨：求一些较复杂的函数的导数时,应先化简再求导,如本题中的第(6)题.例3、已知曲线C：（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。解：把x=1代入C的方程，求得y=-4切点为，所以切线斜
5、率为k=12-6-18=-12所以切线方程为，即由得公共点为（切点），除切点外，还有两个交点。练习：已知两曲线和都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。解：因为点P（1,2）在曲线上，函数和的导数分别为和，且在点P处有公切数，得b=2又由，得例4(1)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为h=t2，求t=4s时,此球在垂直方向的瞬时速度．(2)质点P在半径为10cm,圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动,角速度为1rad/s,设该圆与x轴正半轴的交点A为起始点,求时刻t时,点P在y
6、轴上射影点M的速度.解：(1)米/秒,即球在垂直方向的瞬时速度８米/秒．(2)时刻t时,点P在y轴上射影点M的位移为:,故点P在y轴上射影点M的速度为cm/s.思维点拨：关于时间t求导,即为速度．四、小结：1．导数的概念与导数的几何意义2．基本公式3．复合函数的导数。注意求复合函数的导数时,应选好中间变量,搞清复合关系.而后应用基本公式正确求解.4．求函数在点的导数有两种方法(1)用定义;(2)求导函数在点的函数值.五、作业：
