高数b补考复习提纲(积分学

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1、多元函数的积分学（一）二重积分1．二重积分的计算：将二重积分化为二次积分或累次积分来计算。（掌握）（1）利用直角坐标系计算：面积元素1）为型：，则（先后）特点：平行于轴的直线穿过时与各有一个交点。2）为型：，则（先后）特点：平行于轴的直线穿过时与各有一个交点3）如果区域既是型又是型，可根据的形状及被积函数的特点，选择较为方便的方法计算。（2）利用极坐标系计算：面积元素：；1）直角坐标与极坐标的关系：，2）二重积分在极坐标下的表达式：3）根据极点在区域的位置得如下极坐标下的二次积分表达式：l极点在外：，l极点在的边界上：l极点在的内部：7

2、2．二重积分的几何应用计算曲顶柱体的体积：（掌握）以区域为底，曲面为顶，侧面为以的边界为准线母线平行于轴的柱面的曲顶柱体的体积（二）三重积分1.三重积分计算：化为三次积分计算1）利用直角坐标计算（掌握）l投影法（先一后二法）设在面上投影区域为，a.若：，则=b.若：，则=2）截面法（先二后一法）设立体介于平面之间（），过点（）作垂直于轴的平面与立体相截得一截面，于是区域：=，此时有：=。注：当仅是的一元函数，而的面积又容易计算时，可使用此方法简化计算。（2）利用柱面坐标计算（掌握）1）空间点的直角坐标和柱面坐标的关系：其中2）体积微元：

3、3）计算：72．三重积分的应用计算空间立体的体积：，其中空间立体。（掌握）（三）曲线积分1．对弧长的曲线积分计算方法：（了解）1），则；2），则；3），则。2．对坐标的曲线积分计算方法：（掌握）设，则注意：对应于的起点，对应于的终点；3.格林公式及应用（掌握）1）格林公式：设闭区域由光滑或分段光滑的曲线围成，函数在上具有一阶连续偏导，则有：，其中是的正向边界曲线。4.曲线积分与与路径无关（掌握）曲线积分与路径无关在内恒成立设曲线与是单连通区域内起点为、终点为的任意两条有向曲线，注：如果与路径无关，则可选择积分方便的路径来计算积分值。一般

4、选择平行于坐标轴的折线。（四）曲面积分1．对面积的曲面积分计算方法：（了解）71）曲面的方程为，为曲面在面上的投影区域，则2）曲面的方程为，为曲面在面上的投影区域，则3）曲面的方程为，为曲面在面上的投影区域，则2．对坐标的曲面积分计算方法：（掌握）1）曲面的方程：，为曲面在面上的投影区域，则，（上侧取“+”，下侧取“”）（曲面上点的法向量与轴夹角为锐角，这一侧作为上侧，而另一侧即为下侧）；2）曲面的方程：，为曲面在面上的投影区域，则（前侧取“+”，后侧取“”）（曲面上点的法向量与轴夹角为锐角，这一侧作为前侧，而另一侧即为后侧）；3）曲面

5、的方程为，为曲面在面上的投影区域，则（右侧取“+”，左侧取“”）（曲面上点的法向量与轴夹角为锐角，这一侧作为右侧，而另一侧即为左侧）；3.高斯公式（掌握）1）高斯公式：设空间闭区域由光滑的曲面所围成，函数在上具有连续偏导数，则其中是的整个边界曲面的外侧。7注：应用高斯公式可将沿着封闭的曲面积分化为曲面围成区域上的三重积分，从而可简化运算。例1计算二重积分。其中D是第一象限中由直线和曲线所围成的闭区域。分析：由于的原函数不是初等函数，所以应采用先y后x的积分次序,而把D看成x型。解：例2（A卷计算题）设函数连，且。其中D是由直线x=1,y

6、=0和抛物线所围成的区域。求解：设两端关于区域D求二重积分，得，又，则。例3求由曲面与曲面所围成立体的体积。解：设立体在xoy面上的投影为，则。例4计算，其中：由锥面与平面所围成。（A卷计算题）解：7例5已知曲线积分与路径无关，则；（A卷填空题）解：例6计算，其中是的右半圆周从到的一段弧。（A卷计算题）解：，添加直线，构成封闭曲线，则，而，所以。例7计算，其中是曲线上由到的一段弧。解：。例8计算，其中：柱面被截下的第一卦限内的部分（取前侧）。（A卷计算题）解：，，7，所以。例9计算，其中：柱面被所截部分的外侧。解：由于不封闭，故不能直接

7、用高斯公式。现添两张面：取下侧，取上侧，就构成封闭曲面且取外侧。于是。又，故＝－＝。7