高等代数与解析几何试卷(a)参考答案及评分标准

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1、中国计量学院2011~2012学年第2学期《高等代数》(2)课程试卷（A）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.；2.__1，-3__；3.；4.5.．三、计算题1．(12分)设A是中的线性变换，且A在基,,下的矩阵为求A在基下的矩阵.解因为(,,)=(,，)，所以(,，)=(,,)=(,,)X，-------------4分故A在基,，下的矩阵为B=XAX==-------------12分《高等代数》(2)课程试卷（Ａ

2、）参考答案及评分标准　第5页共5页2．(12分)求λ矩阵的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解对矩阵作初等变换,有A标准形为:；----------------------6分不变因子为：；----------------------8分行列式因子为：；----------------------10分初等因子为：.----------------------12分3．(12分)设二次型，求一正交变换，将二次型化为标准形.解二次型对应的矩阵为，----------------------2分且A的特征

3、多项式为，特征值为．---------------------4分相应的特征向量为，---------------------6分正交化,可得《高等代数》(2)课程试卷（Ａ）参考答案及评分标准　第5页共5页，再单位化,有，----------------------8分令X=TY，其中，----------------------10分则．----------------------12分4.(12分)求顶点在原点，准线为的锥面方程.解设为锥面上任一点，过与的直线为：--------------------

4、--3分设其与准线交于，即存在，使，-----------6分将它们代入准线方程，并消去参数，得：即：此为所要求的锥面方程.----------------------12分5.(12分)求过双曲抛物面上的点（2,1,0）的直母线方程.解：双曲抛物面的两族直母线为：《高等代数》(2)课程试卷（Ａ）参考答案及评分标准　第5页共5页及----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得----------------------10分因此，所求的直母线方程为：及-

5、---------------------12分一、证明题((每小题5分，共10分)1.在中，定义变换．（1）证明：是的线性变换.（2）取的一组基：，求的值域及的一组基.证明(1)设，是到的映射，且，有，所以是线性变换；-----------------3分(2)对于的基：，有，易知线性无关，于是它们构成的一组基，且值域为.-----------------5分2.欧氏空间V中的线性变换A称为反对称的，如果对任意，V，有（A，）=—（，A）．证明：如果V是反对称线性变换A—子空间，则V也是A—子空间．证明任

6、取V，可证AV，即AV，事实上，任取V，由于V《高等代数》(2)课程试卷（Ａ）参考答案及评分标准　第5页共5页是A子空间，因此A，而V，故（，A）=0．----------------------3分再由题设，A是反对称的，知（A，）=—（，A）=0，----------------------4分由的任意性，即证AV．从而V也是A—子空间．----------------------5分《高等代数》(2)课程试卷（Ａ）参考答案及评分标准　第5页共5页