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《高等代数与解析几何（下）半期试卷及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、《高等代数与解析几何（下）》半期考试试卷一、填空题：（每小题3分,共15分）1.如果A是正交矩阵.若k为实数，使kA为正交矩阵，则k=.2.在几何空间中,一个不含y的方程Fxz(,)0=表示的曲面是.3.n维线性空间V的线性变换A在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有.T4.A与A的特征多项式必.5．设V是数域K上n维线性空间，由V的全体线性变换组成的线性空间是维的.二、单项选择题：（每小题3分,共15分）21.设方阵A满足AA=2,则A的特征值为().(A)0或1;(B)1或2;(C)0或2;(D)无法确定.11−12.设3阶方阵A相似
2、于对角矩阵diag(,,)1,则AE−等于().341(A);(B)12;(C)1;(D)0.123.在下列曲面中,()是直纹面.(A)椭球面；(B)椭圆抛物面；(C)双叶双曲面；(D)双曲抛物面.14.在R[]x中，定义内积((),())fxgx=∫fxgxdx()(),则f()1,()xg=xx=的夹角是0（）.ππππ(A);(B);(C);(D).6432⎛⎞310⎛⎞100⎜⎟⎜⎟5.设矩阵Ax=−40与By=00相似，则x,y的值为().⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠482−−⎜⎟⎝⎠002−(A)xy==1,3；(B)x=−1,y=1；(C)
3、xy=2,=4；(D)xy==0,2.三．解答题：（共70分）⎛⎞500⎜⎟1．(15分)设A=−−432，问矩阵A是否可以相似于一个对角矩阵,若可⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−423命题共2页第1页−1以,求一个可逆矩阵T,使TAT为对角形矩阵.42．(15分)在标准欧几里得空间中，求向量β=(3,3,5,2)−在由下列向量α=−(2,1,2,3),−αα=(1,2,3,2),−=(2,2,3,1)−生成的子空间W上的正交投影β.123122xy3．(13分)在−=z上求平行于平面3240xyz+−=的直母线.16434．(15分)已知K中线性变换A在
4、基η=(1,1,1),−=ηη(1,0,1),−=(0,1,1)下的矩123⎛⎞101⎜⎟阵为A=110,求线性变换A在基ε=(,,),100εε==(,,),010(,,)001下的⎜⎟123⎜⎟⎝⎠−121矩阵B.s5．（12分）证明：和∑Vi是直和的充分必要条件是i=1i−1VVij∩"∑==02()is,,.j=1命题共2页第2页参考答案一、填空题：（每小题3分,共15分）1.±12.母线平行于y轴的柱面3.n个线性无关的特征向量4.相等25．n二、单项选择题：（每小题3分,共15分）1.C2.D3.D4.A5.B三．解答题：（共70
5、分）λ−50021．(15分)解：χλλ()=−=EA4λ−32=−−(1)(5)λλA423λ−故特征值为1和5，⎛⎞0⎛⎞11⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟当λ=1时，特征向量η=1；当λ=5时，特征向量ηη=−2,=0.11⎜⎟223⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠1⎜⎟⎝⎠02⎜⎟⎝⎠−∵dim()dim()VVA+=3，故可以相似于一个对角矩阵.15⎛⎞011⎛⎞100⎜⎟−1⎜⎟取可逆矩阵T=−120，使TAT=050.⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠102−⎜⎟⎝⎠0052．(15分)解：设β=+ββ，其中β∈WW,β⊥.令β=xααα++xx，12121112233则β=
6、−=−βββ()xxxα+α+α与α,,αα正交，得以下线性方程组：21112233123⎧1x=⎪1⎧18xxx++=12713⎪12123⎪⎪1⎨⎨12xxx++=181728，解得x=.1232⎪⎪12⎩71xxx++=71829123⎪3x=⎪3⎩2答案共2页第1页1131故，βααα=++=(35,39,59,23)−.11231212212⎧⎧xyxy+=μν−=⎪⎪⎪⎪42423．(13分)解：两条同族直母线为⎨⎨与，⎪⎪μν()xy−=+zz()xy=⎪⎪⎩⎩4242⎧11μ⎫⎧11ν⎫方向向量：⎨−−，，⎬⎨与，，，⎬又与平
7、面3240xyz+−=平行，⎩⎭244⎩244⎭⎧11⎛⎞⎛⎞μ⎪3(−+)2⎜⎟+−−=()4⎜⎟0⎪⎝24⎠⎝4⎠即⎨，∴μ==1,ν2.⎪11⎛⎞⎛⎞ν3()2++⎜⎟()−=4⎜⎟0⎪⎩24⎝⎠⎝⎠4⎧⎧xy+−=240xy−−=280故直母线方程：⎨⎨与.⎩⎩xyz−−=240xyz+−=220⎛⎞−110⎜⎟4．(15分)解：令()ηηη,,==()εεε,,X()εεε,,101，123123123⎜⎟⎜⎟⎝⎠111−−1则()εεε,,=()ηηη,,X.因此，线性变换A在基ε,,εε下的矩阵：123123123⎛⎞−−110
8、101111⎛⎞⎛⎞−⎛⎞−112−−−11−1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟BXA==()X101110011220−=.⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠111121101302−−⎜
