收敛数列的性质(经典课件)63213

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1、§2收敛数列的性质教学内容：收敛数列的性质，以则运算法则，子数列。教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部冇界性、保号性、保不等式性；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。教学方法：讲练结合。教学学时：4学时。♦引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证man=a的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛

2、数列的性质：定理2・2（唯一性）若数列｛%｝收敛，则它只有一个极限。分析：设数列匕｝有两个极限a,b,只需证明a=b,即证a-b可小于任一给定充分小的数。证明：设iman=a与根据数列极限的定义，有[BN,wN“/n>N、,有、V^>OJ''取N=max｛M，M｝.X/〉N,同时有3N2eN>N2,^an-b<&an-aAf,a-b=（a-an）+｛an-b）

3、设lim%=a,根据数列极限定义，对勺=1,2NeN*,Pn>N,冇仏―ovl,从而n-»ooVn>TV,有””=an-a+a0（或avO）,则对任何。'丘（0卫）（或Rw（d,0））,存在正数N,使得川一>00当n>N时有an>a9（或％va）。证明：设a>0,取匂=d—a（>0）,则日"〉0,V〃〉AH有①>a—£=a

4、，这就证得结果。对于aN.时有色5化，则liman0,使得当M>N

5、时有:a-s0,使得当〃>弘时有：bn

6、%00保不等式性的一个应用：例1设an>0（n=l,2,3,---），证明:若liman=a，则lim=4a.H->00；?->0OV证明：由保不等式性可得^>0.若a=0,则由liman=a,Vg〉O,37V>0,使得当〃〉N时有aH-a=an<£,从而"TOO故有lim7^7=0.”TOCV若a>0,则由liman-a.>0,BN>0,使得当n>N时有an-a<8.从而?/->00I/—r血~a一4,i故冇limJa^=4a.n->ooy定理2.6（迫敛性）设收敛数列｛陽｝、血｝都以a为极限，数列｛c”｝满足：存在正

7、数N。，当n>N°吋有an0,MT8n-»00户M>0,使得当n>N时有:右“2>0,使得当心“2时有:a-£N时有a-£oo注：迫敛性不仅给岀了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了i个求数列极限的工具。下而是其应用一例：例2证HJJlimVn=1.»0C证明：VngN+,有V^>1,令Vh-l=/iH>0,则〃二^+

8、力)”=]+皿+皿_1)〃；+...+忙n_Dh；,xrizfl2〔""2H所以05%<(n>1),于是1Sy/n=1+hnS1+存>】）易知liml=limn—»oc-XX),从而由迫敛性便知lim诉=1.n-»oon一1有些教材在此述有性质保序性（木节课后习题2）（保序性）若lim色=aAmbn=bdlaN吋有色con—>00h—a证明：根据数列极限的定义，対勺=—>0,2由lima”=a知37V]>0,使得当n><

9、an-a<-―，从而a”<2822由lim化"知3N2>0,使得当/7>皿时有肉-引<匕工,从