微分中值定理及泰勒公式的意义

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1、微分中值定理及泰勒公式的意义2用运动形容微分中值定理1.1罗尔定理*不要把上图想象成了平面上的运动，而要想成在一条直线上，只能以这样的图形表示出来一个物体运动一段时间后又回到原来的位置，在它运动的最远点速度一定为0。因为在该点它必须改变运动方向才可以回到原来的位置。1.2柯西中值定理A和B竞速，5秒后两物体停止在如图的位置。B是A位移的2倍，途中肯定在某时刻B的速度是A的正好2倍。分析如下：假设开始B的速度是A的100倍，B跑的实在太快了，如果它一直这样，最终将把A拉的无影无踪。开始如果B比A慢，如果B一直不思进取，5秒后B不但不能是A

2、的2倍，而且还会被A拉在身后。结论是：途中必须有B是A速度2倍的时刻，来调和位移的前后不均。1.3拉格朗日中值定理当B以单位速度运行时，特殊的柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。1.4泰勒公式先看下这些简单的运动简单的运动方程描述1单位位移t单位速度t22!单位加速度tnn!单位n阶运动以ht=tn+1(n+1)!为例，在t=0时刻，它没有位移、没有速度、没有加速度、没有n阶运动……它只有单位的n+1阶运动。假如另一个运动未知形态的运动ε(t)，只知道它在t=0时刻，也没有位移、没有速度、没有n阶运动……有n+1阶以后的运动。那么让h(t

3、)与ε(t)竞速。上面的条件使它们处于同一起跑线，不但初始位移相同，他们的初始速度、加速度……都是一样的，并且都是0。t时刻，如果A是B位移的2倍，那么在这中间某时刻t1，A必须是B速度的2倍。否则他无法位移是B的2倍。t1时刻，A的速度是B的速度的2倍，那么在中间某时刻t2，A的加速度必须是B的2倍。如果没有这么大的加速度A的速度不可能是B的速度的2倍。以此类推，就得到了εn+1(tn+1)hn+1(tn+1)=…=ε2(t2)h2(t2)=ε'(t1)h'(t1)=ε(t)h(t)=2由于h(t)是单位的n+1阶运动h(n+1)(t

4、)=1，所以有εn+1τ=ε(t)h(t)其中τ∈(0,t)看到上面的算式，想起了泰勒公式的余项了吗?完整的写出泰勒公式：ft=f0+f'0t1!+f''0t22!+…+f(n)0tnn!+ε(t)泰勒公式的多项式部分：p(t)=f0+f'0t1!+f''0t22!+…+f(n)0tnn!p(t)是一个在t=0时刻，与f(t)具有相同的：初始位移、初始速度、初始加速度……初始n阶运动。大家还有什么好的理解吗？可以加QQ：924465550。*上述的都不是数学证明，非常不严密。只是对问题的理解。1用曲线去形容微分中值定理（一些微积分的书会

5、介绍的更详细）1.1罗尔定理两端点相等，中间必然有平行于x轴的切点1.2拉格朗日中值定理必然有平行两端点的直线1.3柯西中值定理拉格朗日中值定理的参数方程形式1.4泰勒公式用函数曲线解释不方便