GS6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式.ppt

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1、§6.7多元函数的微分中值定理与泰勒公式一、二元函数的微分中值定理二、二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式拉格朗日余项匹亚诺余项问题的提出一元函数的泰勒公式：能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.问题：一、二元函数的微分中值定理定理1(二元函数的拉格朗日中值公式)或写成记则上式又可写成为证考虑点由定理假定可知，在区域D内可微，记由连锁法则，则由一元函数的拉格朗日中值定理，有θ∈（0,1)，使得即证毕.P0D推论证在区域D内任意取定一点P0,对D内任意点P,若连线P0P0

2、P都在D内，则由拉格朗日中值定理，有P0P1P2PnP＝0.于是若连线P0P不在D内，则必存在折线P0P1P2…PnPD于是，由上面的讨论，我们有由于P为D内任意点,命题证毕.记号二、二元函数的泰勒公式一般地,在一点的阶微分　　　　为:定理2其中---拉格朗日余项①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,①证:则利用多元复合函数求导法则可得:令证明的思路是归结到一元函数的泰勒展开式.一般地,由的麦克劳林公式,再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕其中则定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项

3、可用偏导数来估计.令所以我们得到二元函数的带皮亚诺型余项的泰勒公式由高阶微分的定义,不难看出其系数为f在点(x0,y0)的偏导数.这个多项式称为泰勒多项式.例1求函数在点(1,1)的二阶泰勒多项式及带匹亚诺余项的泰勒公式.解先求各阶导数因此,若令也即例2.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,其中多元函数的泰勒多项式的唯一性定理因此,求一个函数的泰勒展开式,可以用其它途径,而不一定非计算各阶导数.例3在点(0,0)的邻域内,将函数按匹亚诺余项的泰勒公式展开至二次项.解由常用的一元函数的泰勒展开式,知由于当由泰勒多项式

4、的唯一性,我们得到作业:习题6.72(1),(3)