微分方程应用举例

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1、§8-5微分方程应用举例在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用．应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解；(3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势．例1有一个30´30´12(m3)的车间，空气中CO2的容积浓度为0.12%．为降低CO2的含量，用一台风量为1500(m3/min)的进风鼓风机通入CO

2、2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m3/min)的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min后，车间中CO2的容积浓度为多少？解车间体积为10800m3．设鼓风机开动t（min）后，车间空气中CO2的含量为x=x(t)，那么容积浓度为．记在t到t+dt这段时间内，车间CO2含量的改变量为dx，则dx=该时间段内CO2通入量-该时间段内CO2排出量=单位时间进风量´进风CO2的浓度´时间-单位时间排风量´排风CO2浓度´时间=1500´0.04%´dt-1500´´dt，于是有=1500´0.04

3、%-1500´即=(4.32-x)初始条件x(0)=10800´0.12%=12.96．方程为可分离变量的方程，其通解为x(t)=4.32+C．将初始条件代入上式，得C=8.64．于是在t时刻车间内空气中CO2的含量为x(t)=4.32(1+2)．所以鼓风机打开10min后，车间中CO2浓度为=0.06%．例2(马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t=t0时人口总数为x0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t与人口总数x(t)之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为

4、11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰6，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数．解记t时的人口总数为x=x(t)，则人口的增长率为，据人口指数增长模型为=rx(t),(r为比例系数，即马尔萨斯增长指数)(1)并附初始条件：x(t0)=x．方程是可分离变量方程，易得它的通解为x=Cert．将初始条件x(t0)=代入，得C=x0．于是时间t与人口总数x(t)之间的函数关系为x(t)=x0．将t=2005,t0=1990,x0=11.6,r=0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为x

5、t=2005=11.6e0

6、.0148´(2005-1990)»14.5(亿)．例3有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势E=E0sinwt,(E0,w为常量），电阻R和电感L为常量，在t=0时合上开关S，其时电流为零，求此电路中电流i与时间t的函数关系．图8-6~RLSE解由电学知识，电感L上的感应电动势为L，根据回路电压定律，有E=Ri+L，即sinwt，(1)初始条件为i(0)=0．方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为i(t)=C+(Rsinwt-wLcoswt)．将初始条件i(0)=0代入上式，得C=．于是所求电流为i(t)=(wL+Rsinwt-wLcosw

7、t),(t³0)．例4轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜．设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始t=0时圆柱高度为h0，求油膜半径与时间t的关系．解设圆柱体油料半径r=r(t)，厚度h=h(t)，则在任何时刻t有图8-7r(t)h(t)pr2(t)×h(t)=V0．(1)两边对t求导，得2pr(t)h(t)+pr2(t)=0，据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比,,得62kh2(t)+=0，即=-2k(t)．分离变量后成为dh=-2kdt，两边积分得=kt+C，或h(t)=．代入(

8、1)，得r（t）=（2）由初始条件pr2(0)h(0)=pr2(0)h0=V0，得r(0)=；代入(2)得C=．回代到(2)，最终得油膜半径与时间t的关系为图8-8x0r(t)=．例5一边长为3m的立方体形状的木材浮于水面上处于平衡位置，然后向水里按下x0(m)后松手，物体会在上面上下沉浮振动(图8-8)．已知振动的周期为2s，水的密度为1，试求物体的质量及物体沉浮振动的规律．解设物体的质量为m，物体在时刻t相对于平衡位置的位移为x，振动规律为x=x(t)．因为x是相对于平衡位置的位移，物体所受重力已经被抵消，故物体在振动过程中只要考虑浮力的作用．假