常微分方程应用举例

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1、常微分方程应用举例摘　要根据几何学和其他学科的实际问题及相关知识建立微分方程。讨论该方程的性质，并由所得解或解的性质反过来解释该实际过程，关键词：常微分方程，导数，解题，方法。1，引言：微分方程是数学学科联系实际的主要桥梁之一，是数学专业的一门重要基础课，也是理，工科高等数学的重要组成部分。在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学，生物，物理学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题，因此社会的生产实践是常微分方程理论的取之不尽的基本源泉。此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，它

2、们往往互相联系，互相促进。例如几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具。考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用。2：在其他学科应用的方面有些完全无关的，本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述。例如，反映物体冷却过程的方程。=﹣k(u-ｕa)和反映R-L电路中电流变化规律的方程。＋Ｒ=都可以写成＋K²y=B这里K,B是常数，而R-L-C电路的方程++=和数学摆的强迫微小振动的方++=F(t)都具有同一形式：+b+cy=f(t)这里b,c是常数，又L-C电路方程+=0和阻力系数u=0的数学摆

3、的自由微小振动方程+=0属于同样的数学模型+y=0这里k是常数。不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据。应用常微分方程解决实际问题，一般有三个步骤：（1）建立微分方程。（2）求解微分方程。（3）由所得的解或解的性质反过来解释该实际问题。3：举例例1，物体冷却过程的数学模型：物体在空气中冷却速度与物体和空气的温差成比例。如果物体在20分钟内由100ºC冷至60ºC，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到30ºC？假设空气的温度为20ºC。解：在求此问题时，首先要求出物体温度u

4、和时间t的关系。为此，可以假设物体在t时刻的温度为u=ｕ(t)则温度的变化速率以来表示。因为热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。因而ｕ0>ｕa即温度u-ｕa恒正。又因物体随时间而逐渐冷却，故温度变化速度恒负。由牛顿冷却定律得：=-k(u-ｕa)(1)这里k>0是比例常数。ｕa为空气的温度。方程（1）就是物体冷却过程中温度和时间的函数关系式。则有=-k(u-ｕa)=-k两边同时积分得：ln(u-ｕa)=-kt+(是任意常数)u-ｕa==u=+ｕa令c=得u=c+ｕa当t=0时u=u0=100ºC得C=-=80则u=80+20当t=20时，u=60得k=

5、-ln则u=20+80t=60例2：如图所示的R-L电路中，设E=10伏，R=100欧，C=0.01法,而开始时电容C上没有电荷。问：（1）当开关K合上“1”后，经过多长时间电容C上的电压=5伏？（2）当开关K合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关从“1”突然转至“2”，试求，的变化规律，并问经过多长时间=5伏？解：（1）当开关K合上“1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端的电压逐渐升高，而此时形成闭合回路，由基尔霍夫第二定律有，+RL=E①对电容C充电时，电容上的电量Q逐渐增多，根Q=C得I==（C）=C　②将（2）代入（1）得的微分方程RC+

6、=E=-两边同时积分得ln

7、

8、=-（2）当开关K合上“1”后，经过相当长时间（如1分钟后）此时的。当开关K从“１”突然转至“２”的过程中。这时电容就开始了放电过程，而此时有t＝０，则有　③电容上的电量Q逐渐减小，根据得　　　　　　　④将④代入③得　　　　　例3：已知曲线上任意两点P和Q之间的弧长与P和Q到一定点O的距离之差成正比，试求该曲线的方程满足的微分方程。解：以O点为极点建立极坐标系，在极坐标系下设曲线的方程为，P，Q两点的坐标分别为，，由题意得=k（）（k为比例常数）两边对求导得=k即（）=所以有=为所求的方程。例4：某物体含有3kg水分，现把它防置

9、在容积为100的室内，假定开始时刻温度为饱和湿度的25%。且在同一温度下，空气的饱和湿度为0.12kg/。如果经过一天后该物体失掉所含水分的一半，求该物体在时刻t的含水量所满足的微分方程及定解条件？解：我们知道疏松物体中所含水分挥发到周围空气中去的速度与该物体含水量成正比，与空气的饱和湿度和周围周围空气湿度之差成反比。令W（t）表示该物体在t时刻的含水量（单位：kg）则是在t时刻的挥发速度。题设空气的饱和湿度是0.12kg/，开始时室内湿度是它的25%即为0.03kg/。因此，t时刻空气饱和湿度与周围的湿度差为0.12-（+0.03）=0.06+=（w+6）

10、则有（k>0，为比例常数）及边值条件：W(0)=3,