微分方程应用举例.ppt

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1、第六节微分方程应用举例一、微分方程的建立与应用二、几何问题的简单方程模型三、力学问题的简单方程模型华南理工大学数学科学学院杨立洪博士一、微分方程的建立与应用1．用微分方程解决实际问题的一般过程：（3）利用求得的解说明它所反映的事实。（2）求解微分方程；相应的初始条件；（1）建立微分方程，并根据实际问题提出微分方程。（2）间接法：通过微元分析或数学运算确定微分方程；（1）直接法：利用有关的科学定律直接写出2．建立微分方程的常用方法：本节只介绍几何、力学方面的例题（3）电学问题：利用电学中的原理。条

2、件等；（2）力学问题：利用牛顿第二定律，力的平衡（1）几何问题：利用导数与积分的几何意义；3．分类二、几何问题的简单方程模型利用微分方程处理有关几何问题时，导数与积分的几何意义常常是建立微分方程的依据，具体表现在：在解决问题过程中，常常用到切线斜率、面积、体积、弧长等计算公式。解设所求曲线；在曲线上任取一点令，得，故点；由题设，，即例1求过定点A(0,a)的曲线，使它的切线MT与X轴的交点T到切点M的距离等于切线在X轴上的截距OT的长。；M(x,y)，作切线；两边积分得即故，这是一族与X轴再由，

3、得，故所求曲线方程为。相切于原点的圆族。,,，则，，这是齐次方程，令化简得：例2试在第一象限中求一光滑曲线，使，并且使曲线上任一点处所作X轴的垂线，与两坐标轴以及曲线本身所围图形的面积值，等于这段曲线的弧长值。依题设有;设M(x,y)为曲线上任意点，A(0,1)为曲线y解两边对求导，得：∴轴的交点。将代入上式，得C＝1，故所求曲线为即这是可分离变量方程，解之得：，.即,三、力学问题的简单方程模型设降落伞的质量为，下落速度为。降落用。重力大小为，方向与一致；阻力大小为（为比例系数），方向与相反。所

4、以降落伞所受总外力为伞在空中下落时，受到重力P与阻力R的共同作解例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，若降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。该微分方程是可分离变量的方程，分离变量后，根据牛顿第二定律，函数满足方程．整理后，得所求特解为即两端积分按题意，初始条件为0

5、0==tu,（2）是时间的单调增函数；（1）0＜＜；（3）当→＋时，→，称为极限速度。可见，在下落阶段，降落伞是加速运动，但随着时间推移，而逐渐接近于匀速运动。度有如下规律：从特解的

6、函数关系式可以看出，降落伞的下落速设在海拔米处每平方厘米的大气压力为P。其中为大气密度，又由于大气压力与大气密（为比例常数），例4设在海平面上每平方厘米大气压力为9.8N，海拔高度为500m时，每平方厘米大气压力为9N，求大气压力与海拔高度的关系。成正比，即等于该空气柱的重量，即根据力的平衡条件知，大气压力的改变量解，______________________________取一底面积为单位面积，高为的空气柱，分离变量，并积分得其中。由题设，代入上式得。因而得大气压力与海拔高度的关系为,,于是

7、，大气压力满足方程,,1．本节通过例题介绍微分方程在几何，力学小结：过程及建立微分方程的方法。2．要求掌握用微分方程解决实际问题的一般问题中的应用；重点：压强、压力。2．力学问题：牛顿第二定律、力的平衡条件、比例关系；1．几何问题：切线、面积、弧长、体积、距离、主要题型：建立微分方程所涉及到的其他知识。难点：微分方程在几何、力学中的应用。课堂练习1．质量为100的物体在力的作用下作直线运动，此力与时间成正比，与物体运动速度成反比，已知当秒，速度为8米／秒，力为，问什么时刻物体的速度为12米／秒？

8、由牛顿第二定律知，F＝ma，由得C＝63，特解为V2=t2+63，再令V＝12(米/秒),1．解秒时，V＝8米／秒，F＝故，为通解。课堂练习题解代入得t＝9秒。从而得，，自测题2．求通过点（1，1）的曲线方程，使该曲线在区间上所形成的曲边梯形面积的值等于该x＞1。曲线终点的横坐标x与纵坐标y之比的2倍减去2，其中1．求一曲线方程，使它通过原点，且在任一点处的切线斜率等于2x＋y。答案答案3．镭的衰变速度与所存镭的质量M成正比，已知时镭的存量为M0，求在衰变过程中，镭的含量M(t)随时间t变化的规

9、律。答案1．解由得，故所求曲线为自测题题解。这是一阶线性非齐次方程，其通解为依题意，原问题为yxy+=2'返回2．解方程两边求导得由题意有分离变量得。利用初始条件，最后得所求曲线为即。积分得即返回3．解其通解M＝C，再利用初始条件，得，从而得。（k>0）由题设有返回