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1、2012年专升本数学强化班讲义主讲：曹婉容2012年5月107第一章函数极限连续一．函数1．函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）2．函数的性态1）单调性定义：单调增：单调不减：判定：（1）定义：(2）导数：设在区间上可导，则a)单调不减；b)单调增；2)奇偶性定义：偶函数奇函数判定：(1）定义：(2）设可导，则：a)是奇函数是偶函数；b)是偶函数是奇函数；(3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。3)周期性定义：判定：(1)定义；(2）可导的周期函数其导函数为周
2、期函数；(3）周期函数的原函数不一定是周期函数；4)有界性107定义：若则称在上有界。判定：（1）定义：（2）在上连续在上有界；（3）在上连续，且存在在上有界；（4）在区间（有限）上有界在上有界；3．复合函数与反函数(函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)4．基本的初等函数与初等函数基本初等函数:常数，幂函数,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.题型一复合函数例1设的定义域为，则的定义域
3、为(A)(B)(C)(D)例2已知且求及其定义域。例3设,试求.()题型二函数性态例1函数在下列哪个区间内有界。107(A)(B)(0,1)(C)(D)(2,3)例2以下四个命题中正确的是（A）若在内连续，则在内有界；（B）若在内连续，则在内有界；（C）若在内有界，则在内有界；（D）若在内有界，则在内有界。例3设是恒大于零的可导函数，且时，有（A）（B）（C）（D）例4设函数则存在，使得（A）内单调增加；（B）内单调减少；（C）对任意的；（D）对任意的。注：1)在的某邻域内单调增；2）当时，；当时
4、，。二．极限1．极限概念1）数列极限:：,当时.2）函数极限:（1）自变量趋于无穷大时函数的极限：,当时.107和的定义与类似。（2）自变量趋于有限值时函数的极限：,当时。右极限：.左极限：.几个值得注意的极限：，2。极限性质1）有界性：收敛数列必有界；2）有理运算性质：若.那么:；；两个常用的结论：1）存在，2)3）保号性：设（1）如果,则存在,当时，.（2）如果当时,,那么.4）函数值与极限值之间的关系：.其中1073。极限存在准则1）夹逼准则：若存在，当时，，且则2）单调有界准则：单调有界数
5、列必有极限。4。无穷小量1）无穷小量的概念:若，称为无穷小量(或).2)无穷小的比较:设.（1）高阶：若；记为（2）同阶：若；（3）等价：若；记为（4）无穷小的阶:若，称是的阶无穷小.5。无穷大量1)无穷大量的概念:若，称为时的无穷大量。2）无穷大量与无界变量的关系：无穷大量无界变量3）无穷大量与无穷小量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量。题型一求极限方法1.利用有理运算法则求极限例1例2107解1：原式例3.设，求解：方法2.利用基本极限求极限常用的基本极限,,,,
6、例.；方法3.利用等价无穷小代换求极限1.常用等价无穷小当时,，2。等价无穷小代换一般只能用在乘、除关系，而不能用在加、减关系。例1.求极限.解:原式==107例2.。解1.罗必达法则（繁）解2.原式注：利用拉格朗日中值定理。例3.若，求例4.；方法4.洛必达法则：若1）2）和在的某去心邻域内可导，且3）存在（或）；则例1.例2.例3.例4．例5．方法5泰勒公式泰勒公式：（皮亚诺余项）设在处阶可导,那么107其中。例1.若，则等于（A）0；（B）6；（C）36；（D）解1解2则例2；解：；例3．已
7、知其中二阶可导，求及解：，107方法6利用夹逼准则求极限例1.求例2求极限其中。例3设求方法7利用单调有界准则求极限(先证明极限存在,再求出极限)例1.设证明：数列极限存在并求此极限。例2.设，求极限。例3.设数列满足。1）证明存在，并求该极限；2）计算方法8利用定积分的定义求极限例1.求.例2．求；例3.求题型二已知极限确定参数例1.若求.解:由于分式极限存在，分母趋于零，则分子趋于零，从而107由罗必达法则知：，则。。例2.若求.解：原式例3.若求.原式例4.设,求及.(题型三无穷小量阶的比较
8、例1.当时,与是等价无穷小,则=由例2.若时,是的几阶无穷小107由即是的9阶无穷小.例3.已知时,与等价无穷小,求.解1对极限用洛比达法则。解2；三．连续1。连续的定义:若,称在处连续,左右连续定义:若称在左连续若称在右连续连续左连续且右连续2。间断点及其类型1）第一类间断点:左,右极限均存在的间断点可去间断点:左极限=右极限的间断点跳跃间断点:左极限右极限的间断点2）第二类间断点:左,右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点:时,振荡间断点:时,振荡3。连续函数的性质1071
