数列极限的概念(经典

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1、第二章　数列极限u引言:在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。§１数列极限的概念教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。教学要求：使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。会应用数列极限的定义证明数列的有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。

2、教学重点：数列极限的概念。教学难点：数列极限的定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学学时：2学时。一、数列概念：１．数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。若函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列。若记，则数列就可写作为：，简记为，其中称为该数列的通项。２．数列的例子：（1）；（2）（3）；（4）二、数列极限的概念：１．引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下，

3、第２天截下，第３天截下，…，第天截下，…得到一个数列：：不难看出，数列的通项随着n的无限增大而无限地接近于零。一般地说，对于数列，若当n无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。据此可以说，数列是收敛数列，０是它的极限。数列都是发散的数列。需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。以为例，可观察出该数列具以下特性：随着n的无限增大，无限地接近于1随着n的无

4、限增大，与１的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大。如：要使，只要即可；　　要使，只要即可；任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可。这样当时，。综上所述，数列的通项随n的无限增大，无限接近于１，即是对任意给定正数，总存在正整数Ｎ，当时，有。此即以１为极限的精确定义。2．数列极限的定义：定义1设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当时有,则称数列收敛于a,实数a称为数列的极限,并记作或.读作：当n趋于无穷大时,的极

5、限等于a或趋于a。由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。３．举例说明如何用定义来验证数列极限：　　例１．证明证明：，，则当时，便有，所以（注：这里取整保证为非负整数；保证为正整数。）例２．证明.证明：（不妨设），，则当时，便有，所以.(注：这里限制保证为正数，但这并不影响证明过程；并不一定是整数。)例３．证明　.证明：，，则当时，便有，所以.例４．证明　.证明:由于，因此，，，则当时，便有，所以.例５．证明　，其中.证明：当时，结论显然成立.现设，记，则.由得于是，，，则当时，

6、便有，所以.对于的情形，留作练习。４．关于数列的极限的定义的几点说明：（１）关于：①的任意性。定义１中的正数的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度，越小，表示接近得越好；而正数可以任意小，说明与常数a可以接近到任何程度；②的暂时固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式中的可用等来代替。从而“”可用“”代替；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数。（１）关于Ｎ：①相应性，一般地，Ｎ随的变小而变大，因此常把Ｎ定

7、作，来强调Ｎ是依赖于的；一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性。Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由唯一确定的，因为对给定的，若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立。所以Ｎ不是唯一的。事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大。基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“”改为“”也无妨。③的取值也不一定必须是正整数，可以为为正数，因为满足条件的正数如果存在，比大的任何正整数必能使条件成立。（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当时有”“当时有”“当时有”所有下标大于Ｎ的项都落在邻域内；而在

8、之外，数列中的项至多只有Ｎ个（有限个）。反之，任给，若在之外数列中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当时有，即当时有，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：　　定义任给，若在