求解线性非齐次高阶方程的特解-常数变易法

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1、4.3非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理(UsethemethodofVariationofConstantstofindparticularsolutiontononhomogeneoushigherorderLinearODE)[教学内容]1.介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.2.介绍非齐次线性方程特解的叠加原理.3.介绍一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）[教学重难点]重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解；难点是如何给出未知函数满足的方程.[教学方法]预习1、2、3；讲授1、2、3[考核目标]1.灵

2、活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.2.知道非齐次线性方程特解的叠加原理.3.知道一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）1.常数变易法求解非齐次线性方程的特解（以二阶微分方程为例）(1)引例(1)求出方程;(2)的通解.这里和不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特解的待定系数法来求解方程的特解.(2)解法思路：考察(**).为了求出方程（**）的一个特解，先考虑相应的二阶齐次线性方程(*)，假定已知齐次线性方程的基本解组，则齐次线性方程的通解为，其中为常数.现假定方程（**）具有形如的特解（这就是常数变易法叫法由来

3、！），经计算得到，注意到将其代入原方程（**）只得一个等式，而这里有两个未知函数，因此我们添加一个限制条件；进一步求二阶导数得到，将代入原方程得到，，注意到为方程（*）的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下方程组，由此运用克莱姆法则得到，这里为Wronski行列式，是不为零的（为什么？）.最后对上面两个等式两边同时关于变量t积分可得.例56求解的一个特解.解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为，其特征方程为，特征值为.于是相应的基本解组为.第二步：假定原方程具有如下特解，于是由常数变易法知，满足，解得，.于是得到，，

4、其中为任意常数.特别地，取得到所求特解为.例57.Findaparticularsolutiontothedifferentialequation.Solution(1)Theequationhasstandardformandtheassociatedhomogeneousequationis,whosecharacteristicequationis.Thenwegetandcorrespondingfundamentalsolutionstohomogeneousequationare.(2)Supposetheoriginalequati

5、onhasthefollowingparticularsolution,Thenweget.ByapplyingCramer'sRule,weget,Weuseintegrationbypartstodeterminethat,.Particularly,wechooseandgetaparticularsolutiontoourdifferentialequationis.作业51.FindaparticularSolutionofthedifferentialequation.例58.求方程的通解.解：（1）相应齐次方程为，这是一个欧拉方程.

6、令其特征方程为，.于是相应齐次线性方程的基本解组为.（2）改写原方程为标准形式，记.假定上述方程具有如下特解，于是有，,运用分部积分法得到，；特别地，取，得到原方程的一个特解.因此，原方程的通解为，其中为任意常数.作业52.求解的通解.2.非齐次线性方程的叠加原理（1）参见教材P131，习题2.例59求方程的一个特解.解：令.(1)考察相应齐次线性方程，其特征方程的特征根为，相应的基本解组为.(2)考察非齐次线性方程，假定方程具有特解，代入方程运用待定系数法求得.(3)考察非齐次线性方程，运用例56的结果知，(4)由非齐次线性方程的叠加原理知，原

7、方程的一个特解.作业53.求方程的通解.3.一类特殊齐次线性微分方程基本解组和特解求法（1）乘积求导法则：，.例60.求解方程(1);(2)通解.解：(1)令，于是方程的左端为，于是得到，其中为任意常数.于是得到原方程的通解为，其中为任意常数.（1）经观察不能直接运用乘积求导法则，令，由，解得，此时，验证可知.原方程两边同除以，得到新方程为，解得通解为，于是原方程的通解为，其中为任意常数.作业53.求解方程(1)的通解.(2)考察方程，假设代入得到特征方程，若特征方程有实常数根，则原方程具有解.(直接代入验证知结论成立)例61.求方程（1）的通解

8、；（2）一个特解.解：(1)改写原方程为标准形式为，原方程的特征方程为，可得一实根，于是原方程存在一个解函数.由刘维尔公式（教材P132