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1、九江学院理学院《数学分析》教案§2求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从
2、我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：一、导数的四则运算问题1设,求.分析利用导数的定义及极限的四则运算知,.即一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数）设,在点可导,则（求导是线性运算）证明令问题2设,则对吗？分析一般地,有如下乘积的求导法则：第8页共8页九江学院理学
3、院《数学分析》教案定理2（积的导数）设,在点可导,则（它导它不导,它不导它导,然后加起来）证明令推论1.推论2若函数在知可导,C为常数,则.问题3设,求.一般地,存如下商的运算法则：定理3（商的导数）设,在点可导,则.证明令给出（3）.推论(1).(2).第8页共8页九江学院理学院《数学分析》教案(3)..利用导数的四则运算法则举例.例1,求,.例2,求.例3证明：,.例4证明：,.例5证明：,..利用导数的四则运算法则求导数举例：1．;2．;3．;4．;5．;6．;7．;8．;9．.二、反函数的导数问题1设,求.定理4设在区间上连
4、续,严格上升,在点可导,且,.则反函数在点可导,且.注若在可导,导数,则反函数存在,且.这里导数可推出严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成第8页共8页九江学院理学院《数学分析》教案.定理的证明要证存在,注意到这个比式是函数与的复合,由定理条件知.再由反函数连续性,时,,由复合函数求极限定理得.例6,求.解,,反过来,如果已知,也可求.例7,求.解,.例8,求.解,例9,求.例10,求.第8页共8页九江学院理学院《数学分析》教案三、复合函数的导数问题1设,求;2）.设,求;3）.设,求.定理5设与存在,,则复合函数在点可导,且.
5、注若的定义域包含的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数在的定义域上可导,且（怀中抱月）或,.定理的证明定义函数在点连续,.由恒等式,,我们有令,得.我们引进是为了避免再直接写表达式中当时,可能会出现情况.例1,求.解例2,求.第8页共8页九江学院理学院《数学分析》教案解.例3,求.解.例4,求.解.例5,求.解时,;时,,时,.例6,求.解.四、隐函数微分法若可微函数满足方程,则其导数可以从求出.一个方程何时能唯一决定一个可微函数,留待日后解决,现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题.例7,求过点的切
6、线方程.解对方程求导,心中记住是的函数,得，，在点上,,过切线方程为,,即.五、对数微分法我们结合例子研究对数微分法第8页共8页九江学院理学院《数学分析》教案例8,求.解函数定义域和,取对数,两边对求导,采用隐函数微分法,得,所以.例9,,,求.解取对数,得,两边求导,得,.如,.六、双曲函数及其反函数之导数,,性质由第8页共8页九江学院理学院《数学分析》教案反双曲函数不是单值函数,可选一个分支来研究小结一、基本求导法则1．；2．,；3．,；4．反函数导数.二、基本初等函数导数公式1．;2．;3．,;4．,,,;5．,;6．,;7．
7、,;,.第8页共8页
