求导法则与求导公式.doc

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1、§2.2求导法则与导数的基本公式教学目标与要求1.掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2.理解反函数的导数并能应用；3.理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4.熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度1.会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2.会求反函数的导数；3.会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法

2、则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。一、函数的和、差、积、商求导法则1.函数的和、差求导法则定理1函数与在点x处可导，则函数在点x处也可导，且同理可证：即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。例1求函数的导数解2.函数积的求导公式定理2函数与在点x处可导，则函数在点x也可导，且。注意：1）特别地，当（c为常数）时，，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：。2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即。例

3、2求下列函数的导数。1）；解2）解例3求下列函数的导数1）；2）解1）2）3.函数商的求导法则定理3函数与在点x处可导，且，则函数在点x处也可导，且所以因为可导,必连续,故,于是注意：特别地，当（c为常数）时，总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：二、反函数的导数想一想：在基本初等函数中，还有哪些函数没有求导法则？在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数

4、函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：定理4设函数在某一区间是单调连续，在区间任一点x处可导，且，则它的反函数在相应区间内也处处可导，且或证因为函数在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数在相应区间内也是单调连续函数。当的反函数的自变量y取得改变量时，由的单调性知，于是又因为连续，所以当时，。由条件知，所以故或即证。例6求下列反三角函数的导数。1）；2）；3）；4）。例7求函数的导数。解由于为对数函数的反函数，根据反函数的导数法则得所以，指数函数的导数公式为特别地，当时，有三、复合函数的求导法则综上，我们对基

5、本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如：。思考：如果，是否有？因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。定理设函数在点x处有导数，函数在对应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且简记为或。（证明略）注意：（1）复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。（2）复合函数的

6、求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设，，则或（3）在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。例8求函数的导数解例9求函数的导数解例10求幂函数的导数。例11求函数的导数。解例12求下列函数的导数。1）；2）。本节小结通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下

7、：1.求导法则（1）（2）（3）（c为常数）（4）（5）（c为常数）（6）（7），其中2.基本初等函数的导数公式小草急急忙忙的返青依旧；细雨迷迷濛濛的飘洒依旧。　　盈盈月下来，照亮你的山歌依旧；灿灿星升起，白杨树绿影婆娑依旧。　　好风似水，不惊你安眠依旧；鸟儿呢哝，爱的春天依旧。　　可我，望尽了我的花季，望尽了长长的一路落英缤纷呵！岑凯伦的绵绵春雨依旧，戴望舒的深深雨巷依旧！　　漂泊的船，寻找一个温馨港口；孤寂的心，渴望一声温暖问候。　　是你在我最落寞的时候，把亲切放在我左右；是你在我最失意的时候，把慰藉放在我心头。　　红酥手，

8、黄藤酒；春如旧，人空瘦。蝴蝶双飞影孤单，泪痕红浥鲛绡透！　　那一叶小舟，那一双眼眸，望穿了几层山水几层楼？那一缕相思，那一缕离愁，孤独了多少暮风晨雨后？　　春风依旧，桃花依旧；春水依旧，明月依旧；渡口依旧，时光依旧。前世的情缘，今生的守候，多少次梦里相逢，追忆难