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《中值定理与导数的应用(1)(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三章中值定理与导数的应用第1节中值定理1．若在可导且,则（B）。A.至少存在一点xÎ使B.不一定存在点xÎ使C.恰存在一点xÎ使D.对任意的xÎ均不能使2．已知在可导，且方程在有两个不同的根a与b，则在（A）。A.必有根B.可能有根C.没有根D.无法确定根的存在性3．下列函数中在[-1,1]上满足罗尔定理条件的是（C）。A.B.C.D.4．若，则的实根个数为（B）。A.个B.个C.个D.个5．函数在上满足拉格朗日定理的条件，则（C）。A.B.3C.D.26、证明等式。证：设。由于所以，。为了确定，取得。故。7、设，证明：。证：设，则在上连续，
2、在内可导。于是由拉格朗日定理知存在使得，即，其中。因此有8、证明不等式证：若，显然有。若，不妨设。设，则在上连续，在内可导。由朗格朗日定理知存在，使得，即，其中。因此。9、设在上可微，证明存在使得。证：设，则在上连续，在内可导，且。由拉格朗日中值定理知存在使得，即。10、设函数在上可导，证明：在内至少存在一点，使得。证：设，则在连续，在内可导，且由罗尔定理知存在使得。而，故有。11、若对任意的有，其中为常数，试证明为常值函数。证：任取，则由题设知。因此由夹挤定理知，即。由的任意性知在内恒为零，因此为常值函数。12、设在的某邻域内具有阶导数，且。
3、试用柯西中值定理证明：，。证：设，则在的某邻域内具有阶导数，且。对函数在以和为端点的区间上应用柯西中值定理可得，其中在和之间，在和之间，……，在和之间。因此在和之间，记。故有。第2节洛比达法则1．设，且在点的某邻域中（点可除外），及都存在，且，则存在是存在的（B）。A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件2．求极限解：注意到当时，，所以。3.求极限解：。另解：作变换，设，则当时，。于是。4.求极限解：设，则。于是。故。5.求极限解：设，则。于是。故。6.求极限解：设，则。于是。故7.求极限解：首先利用恒等变形可得。由于，所以当时
4、，，。因此有。故。8．讨论函数在点处的连续性解：设，则。于是所以，故函数在处不连续。9．设函数具有二阶导数，且,,试求。解：10.试确定常数与，使得函数当时存在有限极限。解：注意到。因此要使得函数有极限，则必有，即（1）又同理，要使函数有极限，必有，即。（2）解方程组得，。另解：记。由于当时，，所以有。据题设有，。解得，。第3节泰勒公式1．当时，求函数的阶泰勒公式。解：由于（），所以在处。于是有。其中。2．求的阶麦克劳林公式。解：注意到，，……，归纳可知。因此，。这样。其中。3．利用泰勒公式求极限解：注意到当时，。又，，所以。4.利用泰勒公式求
5、极限解：首先变形原式，。为了简化计算，我们作变换令，则有，原式。注释：事实上，在代换后我们也可以简单地使用洛必大法则原式。5.利用泰勒公式求极限解：因当时，。又，，所以。进而。6.利用泰勒公式求极限解：首先变形原式，。作变换，则有，原式。注释：和上面类似在代换后可以简单地使用洛必大法则原式。7．若在上具有阶导数，且，证明在内至少存在一点，使得。证明：首先注意到在上连续。由题设知在内可导，且，这样由罗尔定理知至少存在一点使得。又由题设知在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知存在使得。依此类推可知，存在使得。由于在上连续，在内可导及，所以据罗尔定理知
6、存在使得。8．设，在上可导，证明使得。证：设。显然在上连续，在内可导，且。这样对函数在上应用柯西中值定理知，至少存在一点使得即。第4节函数的单调性和凹凸性1．若，在内可导，且时，，又，则（D）。A.在上单增且B.在上单增且C.在上单减且D.在上单增但的符号无法确定2．若在内，函数的一阶导数，二阶导数,则函数在此区间内(D)。A单调减少，曲线是凹的B单调减少，曲线是凸的C单调增加，曲线是凹的D单调增加，曲线是凸的3．设函数可导，则是的图形单调增加的（A）。A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件4．若点为曲线的拐点，则（A）。
7、A.B.C.D.5．求函数的单调区间：解：令y¢=0得x=-1,x=3当x<-1时，y¢>0,函数单调增加；当-13时，y¢>0,函数单调增加；6．求函数的单调区间：解：令y¢=0得x=-1,x=1当x<-1时，y¢<0,函数单调减小；当-10,函数单调增加；当x>1时，y¢<0,函数单调减小；7．证明：当时，。证：设，则f(x)在[0,+¥)上连续，在(0,+¥)内可导，且f(0)=0,所以f(x)在[0，+¥)上单调递增，当x>0时，f(x)>f(0)=0，即8．证明：若，则。证明：
8、设，则f(x)在[0,+¥)上有连续导数，且f(0)=0,,且，且，所以在[0,+¥)单调递增，当x>0时，,从而，所以f(x)在[0,+¥)单调递增
