空间直线与平面的方程及其位置关系

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1、空间直线与平面的方程以及位置关系高天仪20101105295数学科学学院数学与应用数学专业10级汉二班指导教师李树霞摘要解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。关键词空间直线、方向向量、参数方程、方向数1空间直线的方程1.1直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点与一个非零向量,那么通过点且与向量平行的直线就被唯一

2、确定,向量叫直线的方向向量.任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量.直线过点,方向向量.设为上任意一点,,,由于与(非零向量)共线,则即（1.1-1）叫做直线的向量式参数方程，（其中t为参数）。如果设，又设，那么（1.1-1）式得（1.1-2）（1.1-1）叫做直线的坐标式参数方程。消参数t即得(1.1-3)则(1.1-3)叫做直线的对称式方程或称直线准方程。例1求通过空间两点，的直线方程。解取作为直线的方向向量，设为直线上的任意点（如右图），那么所以直线的向量式参数方程为：（1.1-4）

3、坐标式参数方程为（1.1-5）对称式方程为（1.1-6）方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直线的两点式方程。1.1.1直线的方向数①取直线的方向向量为,则直线的方程为(参数方程)或（1.1-7）标准方程（1.1-8）由此可见参数的几何意义:为直线上点与点之间的距离.②直线的几个问题Ⅰ.直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向.Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Z或与之成比例的一组数Ⅲ.直线的方向余弦与方向数之间的关系1.2空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平

4、面的交线。如果两个相交平面的方程分别为和（、、与、、不成比例），则它们的交线是空间直线。该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程。所以方程组（1.2-1）就是这两个平面交线的方程。方程（1.2-1）称为空间直线的一般方程。1.3直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,通常取简单的两平面来表示直线.如将一般方程(特殊的一般方程)化为(直线的射影式方程).1.4直线一般方程与标准方程的互化①标准方程化为一般方程.(方向数不全为零)②一般方程化为标准方程一

5、般方程(1)确定直线的两平面法向量的向量积为直线的一个方向向量.(2)取方程组的一组特解得直线上一点化得直线标准方程:2空间平面的方程2.1空间平面的一般方程一个平面I是由垂直它的非零向量n和平面上的一个点M唯一决定的。设n=（A,B,C）（不为零向量）表示垂直I的方向，称n为I的法向量由于n为平面I的法向量，M0(x0,y0,z0)为I上一点，则对于空间中任意一点M（x,y,z），M在I上当且仅当或（3.1.2—1）用坐标来表示，化为令，则得到平面的方程（3.1.2—2）这样，任何一张平面都可以用一个

6、三元一次方程来表示。反之，对于任何一个三元一次方程不全为0，不妨设，则该方程又可写成作过点，垂直于方向的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面。由此可以看出，经由坐标系，空间中的平面与一个四元数组相对应。但是，这种对应不是一对一的，对于所有的，对应同一平面。由（3.1.2—2）表示的方程称为平面的一般方程。3.2空间平面的法式方程把（3.1.2—1）式两边同时与或相乘，符号的选取使得。这样为从原点指向平面I的单位向量为原点O与平面I的距离。此时可以得到I的另一种方程表示，

7、，称为平面的法式方程，选取的称为法化因子。它的几何意义是：平面I是由所有的满足在垂直于I的直线上投影向量为的点构成的。若以给平面I的方程为则I的法式方程可以表示成其中法化因子，正负号的选取要使得。法式方程常用来处理和点与平面的距离有关的问题。3.3空间平面的参数方程（3.1.4—1）（3.1.4—2）从图（3.1.4—2）中可以看出，平面I是由I上一点与两个不共线的与I平行的向量a,b（或者说是I上两个不共线的向量）所决定的。设I，，，a,b与I平行且。则空间中任意一点在I上，当且仅当,a,b三向量共面

8、。从而有实数k，m，使得或者使用分量来表示，则可得到（3.1.4—3）我们称（3.1.4—3）为平面的参数方程，其中参数为k和m。从（3.1.4—3）中消去参数k，m，可以得到关于x,y,z的三元一次方程=03.4空间平面的截距式方程对于由方程所表示的平面I。假设I过原点O，即在I上当且仅当。若，则平面I可用方程（3.4—1）表示，其中，，分别为I与三个坐标轴的交点坐标。则我们称（3.4—1）为平面的截距式方程。3空间中直线与平面的位置关系