角函数有理式积分

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1、广西民族大学学报(自然科学版)JOURNALOFGUANGXIUNIVERSITYFORNATIONALITIES2006年12月(NaturalScienceEdition)梁汉光(广西民族学大学预科教育学院,广西南宁*530006)Dec.2006摘要:三角函数有理式积分,并不存在能对一切情况都适用的固定方法,灵活性很大,因此是不定积分中较难掌握的一种积分.凑微分法是三角函数有理式积分中使用最为广泛的一种积分法,也是最难掌握的一种方法,而配对积分法和通过三角变换把一个三角函数有理式积分化为有理函数积分却是对某些特定

2、类型的积分的一种特殊解法.关键词:凑微分法;配对积分法;万能变换中图分类号:O174文献标识码:A文章编号:1007-0311(2006)ZJ01-0021-08三角函数有理式积分,并不存在能对一切情况都适用的固定方法,灵活性很大,因此,是不定积分中最难掌握的一种积分,常常给学习者造成很大的困难.文章对三角函数有理式的积分进行归纳、总结、探讨其规律,以减少在对三角函数有理式积分时所遇到的困难.首先,我们所讲的三角函数有理式,是指由三角函数及常数经过有限次四则运算所得到的式子,如324,2等都是三角函数有理式.而2t

3、gx+2,cosx-sinxsinx因为式子中带有平方根号,则不是.由于tgx,ctgx,secx,cscx都可以用sinx,cosx表示出来,因此,三角函数有理式一般记为R(sinx,cosx).这里R(u,v)表示关于u,v的有理函数.若被积函数混含有三角函数和其它函数的不定积分,则计算比较复杂,而且有的原函数不能用初等函数表示出来.因此,本文仅讨论被积函数是三角函数有理式这种情况的积分.1直接积分法有些比较简单一些的积分,一般都可以根据三角公式对三角函数有理式进行恒等变换后直接利用基本积222222同乘上一个三角

4、式,分解因式等.122*收稿日期:2006-10-10.作者简介:梁汉光(1942-),男,广西平南人,广西民族大学副教授,主要从事基础数学研究.21三角函数有理式积分2cosx+5tgx+3,,2sin2x-cosx2,1cosx1sinxcosxsinx+tgx3sinx+4cosxsinx+cosx+分公式进行积分.关键是对三角公式和基本积分公式都要很熟悉才能运用自如.常用的三角公式有sinx+cosx=1,tgx+1=secx,cos2x=cosx-sinx等.常用的恒等变换方法有用三角公式进行分项,分子分母Qs

5、inxcosxdx.例1:求不定积分22广西民族大学学报(自然科学版)2006年12月增刊221dx=22221122tgx-ctgx+ccos2x22cos2xsinx+cosxdx=22sinx+cosxdx=Q(cosx-sinx)dx=sinx+cosx+c222222tgx-x+c2换元积分法这里所讲的换元积分法,是指第一换元积分法,也叫凑微分法,是使用最广泛的一种积分法.由于它没有固定的方法可以遵循,更由于三角公式众多,因此,三角函数有理式的积分,使用换元积分法是最困难、最不好掌握

6、的一种积分法.它的关键是把被积函数分为两部分,一部分是一个三角函数有理式的微分,而另一部分则是这个三角函数有理式的函数.因此,需要对三角公式和微分运算有相当熟悉的掌握.(1)凑微分法的关键是/凑微分0,下面列出基本的三角函数凑微分的基本公式.sinxdx=-dcosx;cosxdx=dsinx;122122Uc(x)sinU(x)dx=sinU(x)dU(x)=-dcosU(x);Uc(x)cosU(x)dx=cosU(x)dU(x)=dsinU(x);f(sinx)cosxdx=f(sinx)dsinx

7、;f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx;f(tgx)12dx=f(tgx)dtgx;f(ctgx)cosx12dx=-f(ctgx)dctgx.sinx(2)若被积函数中的三角函数的角度不相同,应化为同角三角函数后再应用换元积分法.cos2xcos2xcos2x1dsin2xd(2+sin2x)122ln&2+sin2x&+c解:2222212cosx2(3)若被积函数有不同名的三角函数,应先化为同名的三角函数后再换元积分.sin2x解:1+tgx1+tgx1+tgx1+tgx2=11

8、12=1ln&tgx&+1tgx+c.2222解:用公式sinx+cosx=1进行分项积分,QsinxcosxQsinx+cosxdx=sinxcosxQcosxdx+Qsinxdx=Qsinx+cosxdx.例2:求不定积分解:用三角公式cos2x=cosx-sinx=(cosx+si