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1、3换元法在计算三角函数有理式积分中的应用王仙彩(太钢职工钢铁学院基础教研室,太原030000)摘要:换元法是数学解题中最常用的一种方法。鉴于三角函数的公式多且运算量大,文中通过具体的例子阐述了三角函数有理式的积分方法,并对常见的类型进行了归纳总结。关键词:换元法;代换;恒等变形中图分类号:O172文献标识码:A在解题过程中为了达到化繁为简、化难为易,促使未知向已知转化的目的,把某个式子看成一个整体———新的未知数,实施变量代换的方法称之为换元法。换元法的思想在微积分等数学教学中经常使用,贯穿于整个高
2、等数学教学。在此仅讨论换元法在积分学中尤其是三角函数有理式积分中的应用即换元积分法,对积分变量进行适当的变量代换,将欲求的积分转化为对新变量的积分,从而可化成基本积分公式中的形式。三角函数有理式是指由三角函数经过四则运算所组成的式子。关于这一类型的积分问题的运算是比较麻烦的。由于tanx,cotx,secx,cscx都可用sinx,cosx表示,所以把三角函数有理式记为R(sinx,cosx),则积分为∫R(sinx,cosx)dx可通过变量代换化为有理函数的积分。为此把这一类型的主要积分方法归纳如
3、下:dx求∫例1.3+5cosx令tanx解=t则2dx12dt∫∫1-3+5=223+5cosx1+tt1+t2=∫dtt24-1114∫(2-+)dtt2+t=1(ln2+t-ln2-4)=t+C1ln2+t=+C2-t4x2+tan12=4ln+C.x2-tan21.∫R(sinx,cosx)dx类型xx对于三角函数有理式的积分,作代换tan万能代换即令tan,则有=t22=2t,=t总可以将积分有理化,故此代换常称为万能代换。但此方法计算起来往往比较麻烦,因而对于sinx1+t22=1-tc
4、osx,[1]某些比较特殊类型的函数,可作其它代换。2.∫R(sinx)cosxdx或∫R(sinx,cos2x)cosxdx类型此种类型可用代换sinx=t,所以cosxdx=dt.1+t2故∫R(sinx,cosx)dx22t,1-t)2=∫R(dt.1+t21+t21+t2收稿日期:2007-02-20作者简介:王仙彩(1965-),女,讲师,主要从事高等数学教学及其研究工作。322第20卷第2期2007年4月高等函授学报(自然科学版)HigherCorrespondenceEducation
5、(NaturalSciences)Vol.20No.2April2007Journalof1例2∫sin2xcos3cos2x=xdx.,1+t2解令sinx=t则1dxdt.=1+t2∫sin2xcos3xdx=∫t2(1-t2)dtdx例4求∫.241t31t5cosxsinx=-+C35解令tanx=t则有=∫1=1sin3x-1sin5x+C.dx1dt∫cos2xsin4x35t221+t22(2)3.∫R(cosx)sinxdx或∫R(cosx,sin2x)sinxdx类型1+t1+t4
6、2t+2t+1∫=dtt4用代换cosx=t,所以sinxdx例3∫sin3xcos2xdx.=-dt.=∫(1+2t-2+t-4)dt解令cosx=t则21=t--+C3t32t∫sin3xcos2xdx=-∫(1-t2)t2dt1=tanx--+C.3tanx3tanx1t51t3=-+c535.∫sinmxcosnxdx∫,cosmxcosnxdx∫,sinmxsinnxdx类型先积化和差将被积函数化作两项之和,再分项用凑微分换元法积分。=1cos5x-1cos3x+C.53综合1,2中含有类
7、型为∫sinmxcosnxdx(其中m,n为自然数)其方法可归纳为:(1)当m,n中至少有一个是奇数时,如m=2k+1(k为自然数)∫sin2k+1xcosnxdx=∫(1-cos2x)kcosnxd(-cosx)=-∫(1-t2)ktndt.即先把奇数次的三角函数拆成偶次方和一次方的三角函数的乘积,再把偶次方的部分用sin2x+cos2x=1把一种三角函数变为另一种三角函数;而一次部分与dx结合为dsinx或dcosx.(2)当m,n均为偶数时,可用倍角公式求∫sin3xcos4xdx.例51解∫
8、sin3xcos4xdx=(sin7x-sinx)dx2∫11=2∫sin7xdx-2∫sinxdx11=-cos7x+cosx+C.1426.用三角恒等式对被积函数进行适当变形例6∫secxdx.解1∫secxdx把(secx+tanx)看为一整体,=∫secx(secx+tanx)dx(secx+tanx)=1-cos2x,sin2x2=∫secx+secxtanxdx2(secx+tanx)cos2x=1+cos2x降低三角函数的幂次[2],=∫d(secx+t
