第19讲圆的有关性质

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1、第19讲　圆的有关性质考试目标锁定考纲要求备考指津1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论.　　中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，圆心角与圆周角的关系．题型以选择题、填空题为主．基础自主导学考点一　圆的有关概念及其对称性1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做半径．2．圆的对称性：(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心

2、对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．考点二　垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．考点三　圆心角、弧、弦之间的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．考点四　圆心角与圆周角1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．2

3、．性质：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝(　　)．A．70°B．60°C．50°D．40°2．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，则∠OBC的度数为________．4．圆的半径为2厘米，圆的一条弦长

4、为2厘米，则此弦中点到所对的劣弧中点的距离为__________．规律-方法探索一、垂径定理【例1】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6cm，求直径AB的长．则根据AB⊥CD且P是OB的中点，得OC＝BC．∵OC＝OB，∴OC＝OB＝BC．∴△BOC为等边三角形．∴∠BOC＝60°.由垂径定理得CP＝CD＝×6＝3cm.在Rt△POC中，tan∠COP＝＝，∴OP＝cm.∴AB＝2OB＝4OP＝4cm.有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三

5、角形来达到求解的目的．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是_______m.(1)求证：DB平分∠ADC；(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长．(1)证明：∵AB＝BC，∴＝.∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC．(2)解：由(1)知＝，∴∠BAE＝∠ADB．∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA．∴＝.∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝

6、3.圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．三、圆周角定理及推论【例3】如图，半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，BC＝6.(1)求弦AC的长；(2)若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．解：(1)∵AB是半圆的直径，点C在半圆上，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，AC＝＝＝8.(2)∵PE⊥AB，∴∠APE＝90°.又∠ACB＝90°，∴∠APE＝∠ACB．又∵∠PAE＝∠

7、CAB，∴△AEP∽△ABC．∴＝.∴＝.∴PE＝.由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中，有直径时常作直径所对的圆周角，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解决问题．这是圆中最常用的辅助线．知能优化训练1．(2012重庆)已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为(　　)．A．45°　　　　　B．35°C．25°D．20°2．(2011安徽芜湖)如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为(

8、　　)．A．B．C．D．3．(2011福建三明)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为(　　)．A．40°　　　　　　B．50°C．80°　　　　　　D．90°4．(2012四川成都)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝2，OC＝1，则半径OB的长为__________．5．(2011江苏盐城)如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点，若点M的坐标是(－4，－2)，则弦MN的