资源描述：
《探究一次函数模型的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、探究一次函数模型的应用［摘要］〃来源于生活,应用于生活"是数学本质所在.将生活中的问题抽象为数学模型,进而利用数学模型来解决问题是数学应用于生活的重要体现.本文抽象出地铁票价、乘客量与盈利之间的关系，通过变式引导学生对数学模型的应用展开探究，使得数学知识在生活中有了用武之地.［关键词］—次函数；模型应用；地铁票价;盈利;亏损在学习某一数学知识的过程中，学生经常会提岀这样的问题：老师，学了这个知识有什么用？如果我们回答：为了解题,为了考试.显然没有说服力.就目前我们所学的知识，难道真的找不到它的用武之地吗？本文以笔者所上的一节〃一次函数模型应用
2、〃课为例来说明函数的应用.在本次课之前，笔者所教授的班级已经学习了正比例函数与一次函数，教学片段展示如下.问题］:你能用我们学过的函数模型近似地描述〃某地铁线路的盈利额与乘客量之间的关系〃吗？生：首先应确定票价，设票价为a,设盈利额为y,乘客量为x,则可用正比例函数模型，即y二ax来描述.师：大家同意该生的观点吗？生：结合实际情况来看，地铁运营要有固定的成本，所以当乘客数x二0时,利润y应为负值，所以它应该是一次函数模型，即y二ax+b.师：好，我们来回顾一下一次函数的相关知识.生：一次函数的关系式是y二kx+b,其图像是一条直线.当k>0时
3、，y随x的增大而增大.若b>0时，则直线过第一、二三象限，如图1所示；若b<0时，则直线过第一、三、四象限，其图像如图2所示.当k<0时，y随x的增大而减小，若b>0时，则直线过第一、二四象限,如图3所示；若b<0时，则直线过第二三、四象限，其图像如图4所示.师：在这里k起到什么作用?生：反映了直线的倾斜程度，当k>0时，k越大，直线越陡峭；k越接近于0z直线越平缓.当k<0时，k越小，直线越陡111肖；k越接近于0z直线越平缓.师：那么这个函数的图像大致形状是什么样的?生：如图2所示.师：同学们是否有异议?生：函数是有定义域限制的，乘客量应
4、是正整数，而且是有限的，所以该函数的图像应为在某条线段上的一些整点.师：非常好！为了研究方便，我们就近似地用直线来表示这个函数的图像.评析：通过问题的引入，引导学生联系所学知识与生活问题建立关联.但要注意生活问题因有其实际意义，故不能直接套用所学数学模型，应根据实际问题对函数模型进行相应的调整.将生活中的数学问题构造出的模型,大多为一种符号模型，即把题目中的已知量、未知量、常量、变量分别列岀，再添加题目的各种约束条件，进而得出相应的数学结论.问题2:如果目前这条线路处于亏损状态，你们有什么办法令其扭亏为盈吗？生：提高票价.师：虽然简单粗暴，但
5、确实是行之有效的办法.如果提高了票价，那么函数的图像有什么变化?生：提高票价，即直线的倾斜程度变得更陡111肖，如图5所示.师：当然，票价提高多少，还需要做科学的调查,我们在此先不做深入研究.还有没有其他的办法?生：降低成本.师：你很有奉献精神.如果降低了成本，函数的图像又会有什么变化?生：票价不变,说明直线的倾斜程度不变,直线向上平移,如图6所示师:当然实际情况可能不像我们所想象的那样简单，地铁公司可能有更科学的定价方案.评析:通过对问题1进行变式，由函数模型与实际问题的关系，利用函数模型实现对实际问题的处理，从而提出有针对性的策略.问题3
6、:请同学们思考一下，如果我们也近似用一次函数模型来表示，那么随着票价的增加，乘客量会有什么变化？生:票价越高，乘坐地铁的人就会越少.设票价为x，乘客量为y，则y二kx+b(k<0).师：若票价与乘客量之间的关系如图7所示，则票价为多少时，盈利额最大？生:由图知，当票价x=l时ty=10"5时,y二2將其代入直线方程y二kx+b,得k+b二10,5k+b二2z解得k二・2,b二12.所以函数关系式为y=-2x+12.师：能否求出盈利额的最大值?以及当盈利额最大时，票价应定为多少？生：设盈利额为L,成本为B,则有L二x(-2x+12)-B.因此当
7、票价x=3时,盈利额最大,最大值为18-B.师：函数模型确走以后，我们就可以用于决策方案的确定.当然具体问题的处理不像我们所设想的这样简单.评析:把生活问题转化为相应的数学模型后，再根据要求对该模型进行求解.通常情况下，把实际应用问题数学化之后，生活问题便成为普通的数学问题了.问题4:该地铁公司决定实行按照乘车里程分段计价.方案如下：乘坐地铁方案6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分,每增加1元可乘坐20公里（含）.已知在某段线路上，任意一站到A站的票价不超
8、过5元z现从那些只乘坐该线路地铁，且在A站出站的乘客中随机选岀120人，他们乘坐地铁的票价统计如图8所示.如果从那些只乘坐该线路地铁，且在A站出站的乘客中任选1人,
