高中函数问题与导数的热点题型 文 北师大版

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1、我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺专题探究课一高考中函数与导数问题的热点题型(建议用时：80分钟)1．已知函数f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x，求a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－lnx－x，f′(x)＝.当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)的最小值为f(1)＝0.(2)由f(x)>x，得f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x>0.由

2、于x>0，所以f(x)>x等价于x－>a＋1.令g(x)＝x－，则g′(x)＝.当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)有最小值g(1)＝1.故a＋1<1，a<0，即a的取值范围是(－∞，0)．2．(2016·天津卷节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝0.(1)解　由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，

3、所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值认真组织会员学习，及时将党的路线、方针、政策，及时将新的法律和规章，传达到会员，协会编印了《会员之家》宣传资料共四期我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.(2)证明　因为f(x)存在极值点，所以由(1)知a>0，且x0≠0.由题意，

4、得f′(x0)＝3x－a＝0，即x＝，进而f(x0)＝x－ax0－b＝－x0－b.又f(－2x0)＝－8x＋2ax0－b＝－x0＋2ax0－b＝－x0－b＝f(x0)，且－2x0≠x0，由题意及(1)知，存在唯一实数x1满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝－2x0，所以x1＋2x0＝0.3．(2017·西安质检)已知函数f(x)＝2x＋，直线l：y＝kx－1.(1)求函数f(x)的极值；(2)试确定曲线y＝f(x)与直线l的交点个数，并说明理由．解　(1)函数f(x)定义域为{x

5、x≠0}，求导得f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，解得x＝1.当x变化时，f′(

6、x)与f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋－0＋f(x)极小值所以函数y＝f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)，所以函数y＝f(x)有极小值f(1)＝3，无极大值．(2)“曲线y＝f(x)与直线l的交点个数”等价于“方程2x＋＝kx－1的根的个数”，由方程2x＋＝kx－1，得k＝＋＋2.令t＝，则k＝t3＋t＋2，其中t∈R，且t≠0，考查函数h(t)＝t3＋t＋2，其中t∈R，认真组织会员学习，及时将党的路线、方针、政策，及时将新的法律和规章，传达到会员，协会编印了《会员之家》宣传资料共四期

7、我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺因为h′(t)＝3t2＋1>0时，所以函数h(t)在R上单调递增，且h(t)∈R.而方程k＝t3＋t＋2中，t∈R，且t≠0，所以当k＝h(0)＝2时，方程k＝t3＋t＋2无根；当k≠2时，方程k＝t3＋t＋2有且仅有一根，故当k＝2时，曲线y＝f(x)与直线l没有交点，当k≠2时，曲线y＝f(x)与直线l有且仅有一个交点．4．(2017·合肥模拟)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)如果函数g(x)的单调

8、递减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．解　(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意3x2＋2ax－1<0的解集是，即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－，1.将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0，得a＝－1.所以g(x)＝x3－x2－x＋2.(2)由题意2xlnx≤3x2＋2ax－1＋2在x∈(0，＋∞)上恒成立，可得a≥lnx－x－，设h(x)＝lnx－x－，则h′(x)＝－＋＝－，令h′(x)＝0