反例在中学数学教学中的应用

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1、反例在中学数学教学中的应用　　摘要：本文对“反例教学法”在数学教学中的运用做了一些研究，利用分析论证的思想介绍了反例在数学教学中的作用，怎样利用反例教学，以及教育工作者在反例教学时应该注意的问题。充分证明了反例在中学数学教学中不可或缺的重要地位。　　关键词：数学反例；课堂教学；学生思维　　中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2013）12-120-02　　数学中的命题一般可归纳为下述形式，类A具有性质B。我们要推翻这个命题，只须找到一个元素a∈A，而a不具有性质B，则给予了反驳，使得命

2、题不成立。也就是说要构造一个例子，这个例子是属于A类的，但不具有性质B，这样的例子，我们叫作反例。[1]所谓反例，通常是指用来说明某个命题不成立的例子。在数学中要证明一个命题成立，要严格地论证在符合题设的各种可能的情况下，结论都成立，也就是要求证明必须具有一般性，面面俱到，缺一不可，而要推翻一个命题，却只需之处在符合题设的某个特殊情况下，结论不成立，也就是只要举出一个反例就行。　　一、数学反例在历史上的地位5　　任何一个命题，他们要么得到证明，要么被反例推翻，只是时间的迟早而已。逻辑是证明的工具，严谨的证明是数学

3、的标志，但当逻辑思维在有些问题上无能为力时，反例却能一针见血地指出症结所在，令人耳目一新，拍案叫绝。可见反例是用来驳斥错误命题的有力工具，通过反例对命题加以否定或完善，对形成正确的结论形成至关重要的作用。　　二、反例在数学教学中的作用　　1、有利于数学概念的形成和加深概念的理解　　数学概念是整个数学宫殿的基石，因此，它的教学显得尤其重要。在概念教学中，教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明它的本质属性，而且要善于借助反例加深学生对定义中的关键词、句重要性的认识，以弥补正面教学的不足，从而进一步加深对概念的理解。　　例

4、如，在进行奇、偶函数概念的教学时，不少学生对概念的理解只是表面的，还没有深入到其本质，教师可提出问题是偶函数吗？可能有的学生会不假思索地回答：是。根据此反例，可提醒学生，函数仅当其定义域关于原点对称时才能谈及奇、偶性，所以该函数不是偶函数。　　2、有利于强调重要条件　　任何公式、定理和法则都有它成立的条件和适用的范围，离开条件或者超越范围就会犯错误。所以教学中要适当引用一些反例，帮助学生牢固地掌握所学的知识，防止或减少失误。　　3、有利于否定一个错误命题　　由于反例在否定一个命题时具有特殊的威力，因此在数学教学中

5、充分利用反例的这一特点，适当地运用反例，改变学生长期形成的错误的主观认识，指出从表象判断命题成立的肤浅性，否定一个错误命题就可达到事半功倍的效果。5　　比如，周期函数都有最小正周期。对于这个命题，相信同学在判断的时候都会毫不犹豫地认为是正确的，因为很多同学都存在这样的想法：没有最小正周期的函数还是周期函数吗？而且从正面证明其错误性又相对复杂。　　4、有利于辨析和纠正错误　　学习过程是一个知识积累的过程，同时也是不断发现和纠正错误的过程。由于反例在辨析错误中具有直观、明显、说服力强等特点，所以举反例在揭露错误时有特

6、殊的威力，通过反例教学，不但可以发现学习中的错误和漏洞，而且可以从反例中修补有关知识，从而获得正确的结论或解答。　　三、例的构造与学生思维能力的培养　　常用的构造反例的思考方法有：　　（1）从命题结论入手对结论进行分析、推理，得到与结论有联系的命题（如结论的充分条件、必要条件、充要条件等）而在题设条件下，这些命题有明显的谬误。　　（2）从命题题设入手　　从命题的角度来看，题设与结论的地位相似，构造反例的思路也基本一致。　　（3）从极端性入手　　比如，一条直线与一个三角形的两边相交，则该直线在三角形所在的平面内。　

7、　（4）从类比入手　　可供类比的有公理、定理、已有的结论（正面、反面）。　　比如，若一条直线与平面的一条斜线垂直，那么它与斜线的射影垂直。5　　四、学中运用反例应注意的问题　　1、适当时候讲授反例　　要在学生对所学知识有了一定的认识和理解的基础上，才能讲授，绝不能在学生刚刚接触或者还没有完全掌握时就提出反例给学生，不但起不到好的教学效果，有时还会把学生搞糊涂，弄巧成拙。教师可根据学生知识掌握情况和接受原则，在习题课或复习课时提出反例。　　2、注意主次　　教学中主要讲授概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严

8、格的证明和推导。举反例重在说明结构，学生对反例掌握要求不能太高，反例应是围绕主要内容有效辅助手段。　　五、数学反例对教师专业的帮助　　数学反例不但对于学生掌握数学知识，理解数学概念，把握数学本质，加强数学应用方面有积极的作用，而且对教师传授教学知识，讲清数学概念，分析数学问题，业务成长方面也有推动作用。数学反例的教学，从某种角度上也可反映教师的基本素质和业务能力，课堂上恰