“反例”在高中数学教学中的应用

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1、“反例”在高中数学教学中的应用【摘要】众多反例集知识性与趣味性于一体，让学生在“惊奇”中发现不同，在“警醒”后学到知识。在新课程改革大趋势下，我们一线教师必须担负起提高教学效率的重任，而反例的应用就是其中一种很好的方法。　　【关键词】反例高中数学教学效率　　　　一，反例在数学中的重要意义　　在整个数学发展史中，发现一个正确的命题固然让我们欣喜，而发现一个命题的错误之处也同样重要。要证明一个命题的正确必须严格地从所给条件出发，用逻辑推理的方法结合已知定理公理推导出结论。而要证明一个命题是错误的或者片面的，最具有说服力而又简明的方法就是举出反例。在数学发展的历史上，恰当的反

2、例推动了数学的发展。常常有这样的情况，一个重要的猜想，数学家用了很长的时间未能证明它，结果有人举出反例否定了这样的猜想，使问题得到了解决。1640年，费马认为自己找到了能表示部分素数的公式1(称为费马数).他验证了n=1,2,3,4的情况都是正确的,于是得到了形如1的自然数是素数的猜想..一百多年后,欧拉指出1=4294967297=6700417×641.从而推翻了费马的猜想.历史上,这样的例子数不胜数.　　二，反例在高中数学教学中的重要作用：　　1．反例是概念教学中不可或缺的组成部分　　概念教学是数学教学中的重要板块，几乎每一部分知识的构建都是从概念部分开始。在概念

3、教学中适当运用反例，有利于突出概念的关键特征，加深学生对概念本质属性的理解，提高概念学习的效率。　　例如在双曲线的概念的教学中，课本的双曲线的定义是：我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于｜｜）的点的轨迹叫做双曲线。在实际学习中，学生总是把注意力放在“差”和“绝对值”上，而忽略了括号中“常数小于｜｜”的要求，而“常数小于｜｜”的要求不仅是双曲线的定义的重要组成部分，也是考题最容易考察的知识点。我们在教学中也可以先不用急着把“（常数）小于｜｜”的重要性先强加给他们，而是在概念给出后及时给出一个不考虑（常数）小于｜｜的反例：是平面内两个定点，Ｐ点是平面内一

4、个动点，并且满足｜｜＝６，那么Ｐ点轨迹是什么？学生经过思考后发现，P点轨迹是两条射线，有了这个反例，学生就会发现，双曲线定义中“（常数）小于｜｜”和“差”“绝对值”同样重要，在以后对类似题目的处理就不会忘掉考虑“定值小于｜｜”的要求了。　　2．反例是全面掌握知识的有力工具　　有经验的老师会有这样的体会：在教学过程中，有时直接把知识灌输给学生，学生掌握的效果总是不够理想，对知识点总是理解的比较片面，做起题来丢三落四，逻辑总是不够严谨。这时如果适时地提出一个反例，学生通过思考比较后，对知识点的应用印象反而会比较深刻，效果比较好。　　例如让学生去求函数的极值点。如果学生不考虑

5、左右两边的导数的符号情况，学生很容易以为就是函数的极值点，但结合函数的图象很容易发现：函数在处单调递增，不是极值点。如果在计算的时候考察了两边的导数的符号情况的话，就可以避免这个错误的出现。学生通过这样一个反例的补充，加深了对极值点的印象，不考察两边导数符号的习惯上得以彻底纠正。　　3．反例是克服思维定势，抑制负迁移的有力手段　　学生在学习中，经常把一些有用的定理结论进行识记，把一些好的思路方法进行强化，这样对于提高数学能力无疑是有很大作用的，但这样也会造成学生的“思维定势”，难以迸发出创造力的火花，找到新的更便捷的解题方法，有时甚至会造成忽略结论的前提而造成思路“负迁

6、移”，从而得出错误结论的后果。　　4．反例能提高学生对数学的学习兴趣　　在这个强调个性的年代，数学中那些个性鲜明的反例对学生更具吸引力。反例以其特有的魅力吸引着学生的好奇心，激发出学生的兴趣，促使他们以极大的兴趣对数学去思考，去探究，去刨根问底，而只有这样主动的思考才能真正提高学生的数学能力，养成严谨精细的数学思维和逻辑习惯，滋生出对数学的极大兴趣。　　三，反例在高中数学教学中的运用　　既然反例对于学习数学这么重要，我们在教学中应当如何使用反例，在使用过程中应当注意哪些问题呢？　　1、提出反例的目的要明确　　我们在运用反例进行教学的时候经常要反思自己选定的反例是不是确实

7、有必要给学生提出来，对一些不是很重要的，细枝末节的，可以让学生自己去发现和解决的反例就不在课堂上提出，如果没有明确目的，滥用乱用反例，不但起不到应有的效果，还会干扰学生的正常思路，甚至让学生变得疑神疑鬼，逐渐失去对数学的学习兴趣。　　2、提出反例的时机要恰当　　反例一般应当安排在学生对新知识有了一定的认识后，当学生学习了新的概念，定理，公式后，对于相关知识容易被学生忽略或者误解的地方，及时地提出反例给学生思考，学生经过辨析后就会对知识有更深刻更全面的认识，这也是我们的最终目的所在。　　3、必须以正例为主反例为辅　　我们的常规教学当然要以正