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1、余弦定理的证明方法目录第一篇：余弦定理的证明方法第二篇：正余弦定理的多种证明方法第三篇：余弦定理证明过程第四篇：余弦定理及其证明第五篇：余弦定理证明正文第一篇：余弦定理的证明方法余弦定理的证明方法在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b则c^2=a^2+b^2-2ab*cosca^2=b^2+c^2-2bc*cosab^2=a^2+c^2-2ac*cosb下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a由勾股定理得：c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^
2、2=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2=a^2+b^2-2a*cd因为cosc=cd/b第13页共13页所以cd=b*cosc所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*c
3、osb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2第13页共13页如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而
4、ad
5、=
6、cb
7、=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，a
8、sinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理
9、和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)同理可得：mb=mc=4ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)由b^2=a^2+c^
10、2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)证毕。第二篇：正余弦定理的多种证明方法利用向量统一正、余弦定理的证明第13页共13页正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的
11、证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则（1）（正弦定理）==；（2）（余弦定理）c2=a2+b2-2abcosc,b2=a2+c2-2accosb,a2=b2+c2-2bccosa。证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=（0，0）、b=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：c=（bcosa,bsina），以ab、bc为邻边作平行四边形abcc′，则∠bac′=π-∠b，∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c
