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1、证明余弦定理怎么证明余弦定理证明余弦定理：因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab2在任意△abc中
2、,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2第14页共14页如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角
3、函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而
4、ad
5、=
6、cb
7、=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由
8、②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)由
9、b^2=a^2+c^2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)同理可得：mb=mc=4ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)第14页共14页由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)证毕。第二篇：用复数证明余弦定理用复数证明余弦定理法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则
10、a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形abcc′，则∠bac′=π-∠b，∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).根据向量的运算：=(-acosb,asinb)，=-=(bcosa-c,bsina),(1)由=：得asinb=bsina,即同理可得：=.(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，又
11、
12、=a,∴a2=b2+c2-2bccosa.同理：c2=a2+b2-2abcosc;b2=a2+c2-2accosb
13、.法二：如图5，第14页共14页,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知即将(1)式改写为化简得b2-a2-c2=-2accosb.即b2=a2+c2-2accosb.(4)这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.2在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b则c^2=a^2+b^2-2ab*cosca^2=b^2+c^2-2bc*cosab^2=a^2+c^2-2ac*cosb下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过a作ad⊥b
