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《关于数列极限“ε-n”定义的教学探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、关于数列极限"「N"定义的教学探讨极限概念是大学数学的基本概念，是微积分学的基础，是由静止到运动、由有限到无限的桥梁，体现了无限运动与无限逼近的思想，是高等数学的重要工具。高等数学课程中的主要内容包插连续性、可微性、可积性等都是用极限语言定义和认知的。因此，能否准确理解数列极限的概念，直接影响到整个高等数学知识的学习水平和数学能力的高低。本文结合具体教学实践，就数列极限概念教学中应该把握的几个问题给以阐述。一、实例引入，归纳数列极限的直观定义观察当n越来越大时，数列项的变化趋势：(1)xn=1+1/n,(2)xn=1+(-1)n,(3)xn
2、=2no可以看出当自变量n越来越大时，上述数列有三种变化趋势：其一，数列(1)是单调减少越来越接近仁其二，数列(2)只有两个数值0和2。当自变量n越来越大时，xn的值在0和2之间来回摆动，无法趋于一个定的数值。其三，数列(3)当自变量n越来越大时，数列xn数值单调增加且趋于无穷远，无法与一个有限的数值接近。第一变化趋势表明数列xn的极限存在，数值1为数列(1)的极限；第二和三种变化趋势的数列称为极限不存在。这样我们就归纳出数列xn的极限是常数a的直观定义，即当n无限增大时，数列的项xn无限接近一个常数a。二、直观定义抽象化上述直观定义不能解
3、决数列极限及其相关的许多问题。例如，直接观察可以得到数列xn=nsin(1/n)和xn二(1+1/n)n的极限吗？显然很困难。因此，我们必须研究数列极限的精确定义，才能进一步获得极限的优良性质，然后利用它的性质去研究复杂数列极限的存在性。如何给出精确定义，要从直观定义加以分析。其关键是如何用数学符号描述上面例了中出现的“越来越逼近”，或者说“无限接近”的意义。首先要有一个接近的目标，其次是数列中的项随着下标的增加越来越接近这个目标。生活中“越来越接近一个目标”就是运动的物体离这个固定的目标之间的距离越來越小。以上述的数列(1)为例，这里讨论
4、的目标就是一个确定的数值1,把数列xn中的项1+1/n看成运动的物体，也是一个数，只是这个数要随着自变量n的变化而变化。我们知道数轴上两点间的距离用差的绝对值表示，xn与目标1的远近用绝对值
5、xrM
6、的大小表示。这样我们就把数列xn=1+l/n的极限是1的直观定义“当n无限增大时，xn无限接近一个常数1”翻译为“当n无限增大时，绝对值
7、xn-1
8、无限变小，要有多小就有多小”。其次，绝对值
9、xn-1
10、要有多小就有多小，这是xn与1的接近程度的问题。如何用数学符号描述无限变小，或者说要有多小就有多小？例如要使是xn与1的接近程度小于1/100,
11、即
12、xn-1
13、=1/n<1/100,只需要n>100,也就是从100项以后所有的项与1的接近程度小于1/100o要使xn与1的接近程度小于1/104,即
14、xn-1
15、=1/n<1/104,只需要n>104,也就是从10000项以后所有的项与1的接近程度小于104。从这里分析可以发现两点：其一，给定一个接近程度，自变量一定存在一个起始时刻，从这一时刻以后，数列所有的项与1的距离小于这一给定的接近程度。接近程度越小，开始的时刻越大，成单调减少的依赖关系。这种依赖关系，正好描述了"当n增大时,绝对值
16、xrM
17、变小”的逻辑关系。其二，虽然仍00和10
18、4很小，代表不了“要有多小就有多小”的意义，甚至接近程度1/1010>1/10100等很小的数都不能代表任意小，因为后面总有比它们更小的数。因此，数学中引入了字母£来描述任意小、或者要多小就多小的正数。任意取接近程度£,由
19、xn-1
20、=1/n<£可知n>仏。由于£任意小，故仏任意大，即存在正整数N二口/口，使得当n>N时，所有的项满足
21、xn-1
22、<£o到现在为止,学生从直观到抽象有了一定的认知，我们可以归纳出数列极限的隹精确定义：任意£>0,存在正整数N,当n>N时，总成立
23、xn-a
24、<£o上述教学过程体现了由具休到一般、由直观到抽象的认知
25、过程，符合数列极限精确定义形成的发展顺序。但是要领会这一定义的深刻内涵，老师还需要引导学生作深入细致的探讨。三、深化认知，揭示概念的本质1.8的任意性和N的相应性。定义屮正数e是度量xn与a的接近程度，一经给出就视为固定，以便用它来求出相应的N,从这一时刻以后所有的项xn与a的接近程度才会小于£,即
26、xn-a
27、<£o通常N的大小依赖于事先给定的£,故记作N二N（£）,表示”与£之间的关联性。并且由于£越小，找到的N就越大，所以”与£成单调减少的关系。2•结合数轴直观和形象比喻。由于
28、xn-a
29、30、n｝收敛于a的意思是，对任意的£>0,总存在正整数N,使得数列所有下标大于N的项都进入以a为中心,£为半径的区间（a吃,a+E）内，即xN+1e（a-E,a+E）,xN+2e（a
