二次函数图象在解题中的应用

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1、二次函数图象在解题中的应用　　二次函数是一种重要的函数，它有很多重要的性质，其中对称性和根的存在性就是其中的两个重要的性质.本文基于这两个重要的性质得出两个推论，旨在抛砖引玉，引起大家对二次函数图象的探究.　　一、基本理论1　　根据对称性知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则f（x0-t）=f（x0+t）（其中t为常数）.　　推论：对于f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则　　（1）当a>0时，若

2、t1-t0

3、>

4、t2-x0

5、，则f（t1）>f（t2）；　　（2）当a

6、t2-x

7、0

8、，则f（t1）

9、-3-b12a

10、=

11、2-b12a

12、且-3<-b12a<2.　　∴b12a=-3+212.　　∴b1a=-1，即b=-a.　　【例2】已知函数f（x）=3x2+2x+b，试比较5+b与b+1的大小关系.　　解：由题意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.　　又∵f（x）=3x2+2x+b的对称轴为x=-213，　　显然有

13、1-213

14、<

15、-1-213

16、.　

17、　故由理论可知f（1）

18、论2知，必有f（1）?f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519　　评析：本题的解法避免了用判别式的繁杂计算，使解题过程大大简化.　　【例4】若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合.　　分析：由上述理论可知，应有f（0）?f（1）<0，　　f（1）?f（2）<0，　　即（3-m）?（4-2m）<0，　　（4-2m）?（7-3m）<0，　　解得2

19、y=3cos2x-4cosx+1的值域.3　　分析：若令cosx=t，则y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可求值域.　　解：令cosx=t，则-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可利用图象求值域.　　由前述理论可知，当t=-1时，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；　　当t=213时，ymin=-113.　　∴函数y=3cos2x-4cosx+1的值域为[-113，8].　　评析：对于定义域不全为全体实数集的二次函数，若用配方法求值域，尚需分类讨论，显

20、然不如用图象来得简便.　　（责任编辑金铃）3