蒲丰投针问题的类比

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1、蒲丰投针问题的类比　　【摘要】该文把蒲丰投针问题中的平行线改为同心圆，得到很有意思的一个结论，以帮助学生更好地理解蒲丰投针问题，拓展其思路.　　【关键词】蒲丰投针；概率；同心圆　　TheanalogyofBuffonThrowing-pinProblem　　【Abstract】Inthispaper，theparallellinesinBuffonThrowing-pinProblemarereplacedbyconcentriccircles，thuswegetaninterestingconclusion，whichcanhelpstudentsunderstand

2、BuffonThrowing-pinProblembetterandexpandtheirthinking.　　KeyWwords：BuffonThrowing-pin，Probability，Concentriccircles.　　【中图分类号】G63.23【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）29-0-01　　一、引言4　　蒲丰投针问题是概率中一个非常有代表性的问题：我们只需要设计一个随机试验，使得一个事件的概率与某一未知数有关，然后通过大量的重复试验，以频率替代概率，就可求得未知数的一系列近似解.它由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提

3、出的，是第一个用几何形式表达概率问题的例子，开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，具有很强的理论与实际意义.蒲丰投针问题的解决不仅反映了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花――蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法.随着现代计算机技术的飞速发展，用计算机来模拟所设计的随机试验变得非常方便，这使得蒙特卡洛方法得到了迅速的发展和广泛的应用.　　二、蒲丰投针问题的描述及其一般结论　　问题描述：平面上画有一系列等距离的平行线，相邻两条平行线之间的距离为，向平面任意投掷一枚长为的针，试求针与平行线相交的概率.　　解：设表示针的中点

4、M到最近一条平行线的距离，表示该针与平行线的夹角.针与平行线的关系见图1，则有：，　　由它们所围成的矩形区域即为样本空间所表示的区域（图2中的矩形部分）.针与平行线相交的充要条件是：，满足这个关系的区域即为“针与平行线相交”这一事件所标示的区域（图2中的阴影部分）.则所求概率为　　图（一）图（二）　　关于蒲丰问题的推广，很多学者也进行了大量的研究，例如把针替换成三角形时的蒲丰问题，把针替换成四边形时的蒲丰问题，把针替换成硬币时的蒲丰问题以及在空间上的推广等等，并得出了不同情况下的一般结论，即蒲丰投针问题一般结论：　　定理1平面上画有等距离的平行线，向平面上任意投掷一个以

5、为边长的凸边形，且要求此凸边形的边长和对角线均小于，则凸边形与平行线相交的概率为　　三、平行线改为同心圆时的蒲丰问题4　　我们通过上面的讨论得到启发，平面上的同心圆在无穷远处可以看做是平行线.那么对同样的蒲丰投针问题，把平行线改为同心圆时，应该在无穷远处得到与上面的结论类似的结果.我们仅考虑一个简单情况，即当投掷物是一个硬币时的蒲丰问题　　定理2假设平面上有个同心圆，间距均为.往平面上投掷一些半径为的硬币，则当时硬币与同心圆相交的概率.　　证明：记“硬币与同心圆相交”这一事件为，要想事件成立，则只要硬币的圆心满足，，　　其集合的形状为一系列圆环区域，面积为.　　圆心所组

6、成的样本空间为整个坐标平面，其面积可以表示为.因此，由几何概率知，它们面积的比值即为所求概率　　由此结果我们看到，当蒲丰投针问题由平行线改为同心圆的时候，在时，同样得到与定理1类似的结果.这同时也从另一方面证明了同心圆在无穷远处就变为平行线这一结论.　　事实上，当为有限值时，硬币与同心圆相交的概率是，是一个与同心圆个数有关的单调递增数列，其极限为.　　四、结语4　　概率论的教学是中学数学教学中的重点与难点，而培养学生的创新思维能力是中学课程标准的基本要求.因此，教师应善于引导和鼓励学生敢于求异，勇于创新.蒲丰投针问题是大多数概率教材中的开场问题，它的不同解法以及推广对学

7、生今后学习概率论有很好的引导作用.在概率论教学中，让学生在无限的空间里实现思维的飞跃，有助于开启学生的想象力、创造力之门；通过研究一个问题的多种解法或同一类型问题的相似解法，有助于拓展学生思维的广度和深度，激发学生创造性学习的激情.　　参考文献　　[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，2010.　　[2]张德然.蒲丰投针问题的推广及其应用.阜阳师范学院学报（自然科学版），1997年第1期.　　[3]姚楠黄金明.蒲丰针问题不同结果及其内在联系.常德师范学院学报（自然科学版），1999年9月