高考训练专题6.4 数列求和（讲）-2019年高考数学----精校解析 Word版

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1、【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测1.高频考向:等差数列与等比数列综合确定基本量，利用“裂项相消法”“错位相减法”等求和.2.低频考向:简单的等差数列、等比数列求和..掌握等差数数2018浙江203.往往以数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查列、等比数列2016浙江文17列前n项数列求和，在求和后再与不等式、函数、最值等问题综合.求2015浙江文17；,理20；和公式及其和2014浙江文19；理19；考查“裂项相消法”、“错位相减法”较多.应用.4.特别关注:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；（2）

2、熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法.【知识清单】一．数列求和1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.【重点难点突破】考点1数列求和【1-1】【山东省2018年普通高校招生（春季）】己知在等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】所以【1-2】已知数列的前项和为，若，且，其中．（1）求实数的值和数列的通项公式；（2）若数列

3、满足，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】【1-3】【2018年专家猜题卷】数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）证明：∵，【领悟技法】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项

4、的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等

5、差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1），特别地当时，；（2），特别地当时，；（3）（4）（5）5．分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，.7.在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的

6、两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，

7、特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．8.[易错提示]利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．应用错位相减法求和时需注意：①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.【触类旁通】【变式一】【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，

8、，，则。【答案】【解析】【变式二】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列的前项和为，，．等差数列中，，且公差．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得?．若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案