分类讨论思想在函数教学中渗透

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1、分类讨论思想在函数教学中渗透【摘要】分类讨论思想是高考数学考试说明中明确要考查的四大基本数学思想之一，常应用在函数问题中，学生在熟知函数的相关概念和性质后，教师有必要在教学时渗透分类讨论的思想方法，引导学生找到分类的动机，即明确分类的目的。【关键词】函数教学分类讨论分类的动机【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1674-4810(2014)02-0057-02一引言分类讨论思想是高中数学重要的数学思想之一，分类讨论在函数中体现为两方面，一是函数解析式的分段讨论，二是含有参数的函数问题。学生遇到此类题时，要么束手无策,要么认为题目有问题，无法解或无解，没法明

2、白分类的动机,分类时出现困难。可见学生对分类思想方法掌握不好，因此,分类思想既是老师教学的重难点，也是学生能力的体现。二分类讨论思想的涵义当我们遇到的问题中的条件不足以得到一个确定答案或好像无法求解时，就是用分类讨论的思想方法求解的时候了，把原问题分解成相对独立的“小问题”来处理，综合对这些小问题的解答，便可推证出原问题的结论。这个过程就叫做分类讨论，这种思想叫做分类讨论思想。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，就增加了问题的定解条件。即分类讨论是"化整为积，各个击破，再化积为整”的教学策略。三分类讨论的动机探究请看下面的例子：例1,求函数f

3、(x)二

4、x-1

5、+

6、x+2

7、的值域。探究如下：学生：看起来不好入手解题，它不是基本初等函数的类型，而是与X相关的两个绝对值。教师：常见的函数没有绝对值，因此有必要对解析式进行化简，化简的目的是去掉绝对值，怎么去掉绝对值呢？学生：绝对值里面的正负是关键，如果知道X-1,x+2分别与零的大小，就可以去掉绝对值符号。教师：大小关系有多少种情况呢？学生：有(1),或者(2)教师：除了这两种情况，还能有其他的情形吗？学生：还可以是一正一负(3),或者(4)o教师：分成以上四种情况，但是(4)无解集所以得排除。学生：(1)当x$l时，f(x)=x—l+x+2=2x+l；(2)当-20

8、时，函数图像与x轴没有交点，即c-e-2根据零点存在定理，要使g(X)有零点，则必然有当X$1时，由(1)知g(x)=lnx-xe-2x-clnx-(eT+c)>lnxT+c,要使g(x)>0,lnx-l-c>0,即xW(el+c,+°°)。当0-lnx-l-c,要使g(x)>0,只需要TnxT-c>0,/.x£(0,e-l~c)o综上当c>-e~2时，g(x)有两个零点，即方程有两个根。总结：例题中讨论根的情况转化成函数的零点问题是一大难点，一部分学生在分段得到最小值后就不知如何继续，没有找到分类的动机，感觉手忙脚乱，因此怀疑自己的解题思路，最终不能将解题进行下去。还有学

9、生在(3)中不知如何设定情况继续讨论，在大的前提下又进行分类讨论，是学生的薄弱点，拿捏不好分类的尺度，因此在讨论时把握分类的动机，明确分类标准非常重要。五分类讨论的标准要有明确的分类标准：对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准。例3,(2010年全国I)已知f(x)=3ax4-2(3a+l)x2+4xo(1)当a=时，求f(x)的极值；(2)若f(x)(-1,1)是增函数，求a的取值范围。(1)M：(2)易知f，(x)二4

10、(x-1)(3ax2+3ax~l),在(-1,1)±f(x)是增函数，当且仅当f'(x)NO,VxO时，要满足条件则需3a・12+3a・1-1W0,解得aWo所以，00的前提下，是且的关系，最后取两者的交集)。(3)当a