例说高中数学教学中逆向思维能力培养

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1、例说高中数学教学中逆向思维能力培养数学新课程十分重视学生思想方法和思维能力的训练及提升。《高中数学课程标准》指出：“数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用”（“课程的基本理念”）,"要注重对数学本质的理解和思想方法的把握”（“评价建议”）。而在日常教学中，数学思维能力的训练主要是通过在概念、公式、性质、法则等的教学，特别是数学习题的分析解答来完成的，在其过程中常常触及到思维方法中的不同类型，如归纳思维、聚合思维、发散思维等等。其中，逆向思维是一种自觉地打破习惯性的思考方法、使用与其完全相反的思考路径来探索数学问题的解决的一

2、种思维方式。逆向思维模式倾向于：如果顺推遇到障碍时，不妨考虑逆推；直接解决有困难时，不妨考虑间接突破，当反复地从正向考虑某一问题而陷入困难时，改变一下思考角度，采用逆向思维，或许会使你柳暗花明，茅塞顿开。可是，许多学生却对逆向思维感到无所适从，很不习惯。在教学过程中，常常会碰到一些显而易见应用逆向思维便可迎刃而解的问题，学生解答起来也感到困难。例如，在学习倍角公式后，要求sinl5ocosl5o、2cos275o-l等的值时，就有许多学生思苦良久，最终却毫无结果。原因何在？首先,由于学生的学习过程大多是正向思维，而往往忽视、抑制

3、了逆向思维的建立；其次，思维定势使学生顾此失彼。因此在教学程中要重视对学生逆向思维能力的培养，以开阔思路，提高他们分析问题、解决问题的能力，养成良好的思维习惯。本文就如何在教学中培养学生的逆向思维谈一点肤浅的体会。一、逆向提问，培养学生双向思考问题的习惯在概念、公式、性质、法则等的教学中，如果教师注意逆向提问，学生不但对所学知识辩析得更清楚，也理解得更透彻，而且能养成双向考虑问题的习惯，在运用中也能左右逢源。例1：设f(x)=4x-2x+l(x20),求fT(0)o分析：按一般思维方法，先判断原函数是否存在反函数,若存在，求解方

4、程，写出反函数再求值。逆向思考：不求出反函数，而借助于原函数与反函数的关系可作出如下判断：求f-l(O)的值，实质上就是使f(x)=0的x值，令4x-2x+l=0,解得x=l,从而f-1(0)=lo二、对比练习，训练学生逆用公式法则的能力对公式法则，不但要求学生会正向运用，而且还要会反向运用。这也是教学的最基本要求。例2：在学习了“两角和与差的正弦、余弦、正切公式后，可选编以下练习题以训练学生逆用的能力：这一组题富有灵活性和启发性，引导学生灵活地逆向运用所学公式，就会取得令人满意的结果。例如：(3)：［其中有*号这一步逆用了公式

5、Ta+B•即：tana+tanB=tan(a+B)(1-tana.tanB)_再来看下一例：例3：对于扇形面积公式S=nR2,若已知扇形半径R和扇形所对的原心角n,直接代入扇形面积公式即得扇形面积。但反过来，若已知扇形面积S和半径R,怎样求n呢？若已知扇形面积S和扇形所对的原心角n,怎样求半径R呢？这就要求学生能逆向运用公式得到n二，R二，从而解决问题。三、启发思考，重视解题中的逆向联想在解题教学中，如果只进行正向应用的单一训练，而忽视由此及彼的逆向联想，很容易造成学生思维过程的定势.因此，应经常启发学生调整视角，积极探索，培养

6、学生养成双向考虑问题的良好习惯。例4：已知AABC中，BC=20,AB+AC=50.求中线AM的最小值。分析：本例可以根据所给条件建立函数关系，最后转为求有条件的极值，但计算复杂，如果联想到椭圆定义，即有:2c=20,2a=50,从而再由椭圆的几何性质推知：AM的最小值为短半轴长，所以AM的最小值为5。例5：若三个方程：x2-4ax-4a+3=0,X2+(a~l)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中，至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围，分析：此题正面思考情况复杂，不易得到结果•注意到“三个方程中至少有一个方程有实数解

7、”的对立面是'‘三个方程都无实数解”，于是从全体实数中排除三个方程都无实数解时a的范围，即为本题所求。当a满足(4a)2-4(~4a+3)