例谈数学教学中如何培养学生逆向思维能力

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例谈数学教学中如何培养学生逆向思维能力思维就是人们对客观事物的判断与推理，它是人的理性认识的过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为正向思维（常规思维）和逆向思维。逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和多向性，它是摆脱思维定式，突破旧的思维框架，产生新思维，发现新思维的一种重要方式。因此，在教学中，教师应该重视学生逆向思维能力的培养。数学教学的主要任务是讲授数学知识和经验，但更重要的是培养学生的解题方法和思路，以提高他们的数学思维能力。现行的数学课本中提供了大量的可逆素材，如定理与逆定理、函数与反函数、可逆运算、反证法、可逆变换等等。许多数学问题都可以通过提出逆问题或从相反方向去考虑，这为我们培养学生的逆向思维创造了条件。在教学中，我们要求学生不但能进行正向思维，而且还能灵活地运用知识进行逆向思维解决相应问题，从而培养学生思维的灵活性与创造性。一、通过利用“逆定义”，培养学生的逆向思维能力数学中的很多问题是可以借助定义解决的，但定义的逆用很容易被学生忽视，如果能重视定义的逆用，适当训练学生的逆向思维，就可以使有些问题解答得更加简洁明了。 例1•设f(x)二2x-4x2+2,求f-1(0)o分析：(一)常规思维：先求出反函数f-l(x),再求f-1(0)的值。(二)逆向思维：令f(x)=0,解出。显然，求反函数比较困难。对比之下，方法(二)使得解题过程更加简洁。二、通过逆用公式，培养学生的逆向思维能力在学习数学的过程中，书本上有许多公式，学生往往习惯于正向运用公式，对逆向运用公式不太习惯，可有很多问题需要逆用公式才能解决。例2•在斜三角形ABC中，求证：(a2-b2~c2)tanA+(a2~b2+c2)tanB=0分析：利用余弦定理得：a2~b2_c2=_(b2+c2_a2)=-2bccosAa2-b2+c2=a2+c2-b2=2accosB代入左边得：^E=-2bccosAtanA+2accosBtanB二-2bcsinA+2acsinB=-4SAABC+4SAABC=0,即证。 例3.求值：(1)■(2)■分析：在三角函数中，“1”的形成有很多变形，若能巧妙地运用，解题就能得心应手。此题利用“l”=tan45°,易求解。教师应引导学生积极思维，更好地激发学生的学习兴趣与求知欲，鼓励学生大胆求异，质疑探索，挖掘潜能，以培养他们的创新精神。三、通过运用反证法，培养学生的逆向思维能力反证法是数学教学中的一种重要的证题方法，它从''否定命题的结论”出发，通过逻辑推理，得出“矛盾”，从而“肯定原命题的结论”。这种逆向思维的方法，可使很多问题迎刃而解。例4.已知：a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证：a,b,c都是正数。分析：如果依据已知条件尝试用直接证法来证明，会发现难度很大，因此，考虑用反证法。假设a,b,c中只有一个是负数，或者a,b,c中有零，这都与已知条件abc>0相矛盾。故若非都为正数，必有两个是负数，以此为起点去寻求题设条件之间的矛盾。证明：假设a,b,c不都是正数。又Vabc>0,故三数中必 有两个负数，一个正数。不妨设aO由a+b+c-(a+b)又•/a+bO相矛盾，.：a,b,c都是正数。四、通过应用排除法，培养学生的逆向思维能力任何问题都有正确答案和错误答案，排除错误的就可得到正确的，对于那些正面复杂而反面简单的问题，这无疑也是一种解决问题的好方法。例5.20件产品中，有3件次品，从中任取5件，至少有1件是次品的取法有多少种？分析：此题若从正面解决，比较复杂。若用排除法，从总数中减去不符合条件的取法，即可得到符合条件的取法。即：C520-C517=9136（种）另外，排除法也较适用于选择题，在四选一的答案中必然有一个答案是正确的，运用排除法可大大提高解题效率。五、通过运用反例，培养学生的逆向思维能力用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，只要有一个使结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。数学史上著名的用尺规作图的三大难题：三等分角问题；立方倍积问题；化圆为方问题就是通过反例证明其不成立的，一些世界著名的猜想也是通过反例证明其不成立 的。例6.设ZXABC三边的长分别是a,b,c,且a+■二b+■二c+・，则此三角形必是正三角形，判断此命题正确与否。解:由a+■二b+■得,(a-b)(abT)=0,即a=b或ab=lo但当ab=l满足题设条件时却未必是正三角形。易举出反例：当a=2,b=・，c=2时满足题设条件，但AABC不是正三角形。综上所述，在数学教学中加强学生的逆向思维训练，可加深学生对知识的理解，进一步完善知识结构，培养学生思维的敏捷性、深刻性和创造性，从而达到逐步提高学生思维能力的目的。(作者单位江苏省南京市浦口中等专业学校)