2013年秋北师大版必修1示范教案3.4.1对数及其运算(2).doc

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1、4．1对数及其运算(2)导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．ba＝NlogaN＝b.3．重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题〕思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则．mnmnm＋nmnm－nmnmnnma·a＝a；a÷a＝a；(a)＝a；a＝a.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定

2、的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．推进新课新知探究提出问题1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？mnmnm＋n2如我们知道a＝M，a＝N，a·a＝a，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？3在上述2的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？6上述结论能否推广呢？7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．mnm＋n

3、mnm＋n(2)如a·a＝a，设M＝a，N＝a，于是MN＝a，由对数的定义得到mnM＝am＝logaM，N＝an＝logaN，m＋nMN＝am＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN.因此m＋n可以用对数式表示．mnMmnm－nM(3)令M＝a，N＝a，则＝a÷a＝a，所以m－n＝loga.NNmnM又由M＝a，N＝a，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝loga，NM即loga＝logaM－logaN.Nmnmnmn设M＝a，则M＝(a)＝a.由对数的定义，n所以logaM＝m，log

4、aM＝mn.nn所以logaM＝mn＝nlogaM，即logaM＝nlogaM.这样我们得到对数的三个运算性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有loga(MN)＝logaM＋logaN，①Mloga＝logaM－logaN，②NnlogaM＝nlogaM(n∈R)．③(4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.(6)性质①可以推广到n个数的情形：

5、即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1M2M3…Mn均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例思路1例1用logax，logay，logaz表示下列各式：

6、22xx(1)loga(xyz)；(2)loga；(3)loga.2yzyz活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．利用对数的运算性质，把整体分解成部分．对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积．对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积．22解：(1)loga(xyz)＝logax＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.2x2(2)loga＝logax－

7、loga(yz)＝2logax－logay－logaz.yzx21(3)loga2＝logax－loga(yz)＝logax－2logay－logaz.yz2点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算．变式训练1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为()．①logax·logay＝loga(x＋y)②logax－logay＝loga(x－y)x③loga＝logax÷logay④loga(xy)＝logax·logayyA．0B．1C．2D．3答案：A2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n

8、∈N＋，下列式子正确的个数为()．nnn1①(logax)＝nlogax②(logax)＝logax③logax＝－logaxnlogaxxn11④＝