高三数学(理)二轮考前冲刺三 第四类 概率问题重在“辨”——辨析、辨型---精校解析Word版

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1、第四类 概率问题重在“辨”——辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.【例4】(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一

2、续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率.(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.(辨型1)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,

3、则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B

4、A)====.(辨型2)因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05(辨型3)E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.探究提高 1.辨析(1):判断

5、事件A发生,在一年内出险次数为2,3,4或≥5.辨型(1):该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析(2):判断事件B发生,在一年内出险次数为4或≥5.辨型(2):该问题为条件概率,可利用公式求解.2.求解此类问题的关键:(1)会判断,先判断事件的类型,再利用对立事件的概率公式、条件概率的公式等求解概率;(2)会计算,要求随机变量X的期望,需先求出X的所有可能取值,然后求出随机变量X取每个值时的概率,再利用随机变量的数学期望的定义进行计算.【训练4】共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的

6、自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)的解决下列问题:频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70)a■第3组[70,80)200.40第4组[80,90)■0.08第5组[9

7、0,100]2b合计■■频率分布直方图(1)求出a,b,x的值;(2)若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈,设所抽取的2人中来自第5组的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.解 (1)由题意可知,=,解得b=0.04;∴样本容量n==50,∴[80,90)内的频数为50×0.08=4,a=50-8-20-4-2=16;又[60,70)内的频率为=0.32,∴x==0.032;(2)由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,∴随机变量ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.∴

8、ξ的分布列为:ξ012P∴E(ξ)=0×+1×+2×=.

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