【十校联考】2016年安徽省“江南十校”高三联考数学试卷

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【十校联考】2016年安徽省“江南十校”高三联考数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合A=x2x2−5x−3≤0，B=x∈Zx≤2，则A∩B中的元素个数为  A.2B.3C.4D.52.若复数z满足z1−i=1−i+i，则z的实部为  A.2−12B.2−1C.1D.2+123.“a=0”是“函数fx=sinx−1x+a为奇函数”的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知l是双曲线C:x22−y24=1的一条渐近线，P是l上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若PF1⋅PF2=0，则P到x轴的距离为  A.233B.2C.2D.2635.在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点Px,y的集合对应的平面图形的面积为π4；类似地，在空间直角坐标系O−xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点Px,y,z的集合对应的空间几何体的体积为  A.π8B.π6C.π4D.π36.在数列an中，an+1−an=2，Sn为an的前n项和．若S10=50，则数列an+an+1的前10项和为  A.100B.110C.120D.1307.AB+AC−BC+BA化简后等于  A.3ABB.ABC.BAD.CA 8.执行如图所示的程序框图，若输入的t=50，则输出的n=  A.5B.6C.7D.89.已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ<π2）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有fx≤fπ3恒成立，则fx图象的一个对称中心是  A.−2π3,0B.−π3,0C.2π3,0D.5π3,010.若x，y满足约束条件3x−y≥0,x+y−4≤0,y≥12x2,则z=y−x的取值范围为  A.−2,2B.−12,2C.−1,2D.−12,111.某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为   A.4π+16+43B.5π+16+43C.4π+16+23D.5π+16+2312.已知函数fx=alnx−12x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值，fx的极小值恒大于0，则a的最小值为  A.−e3B.−e2C.−eD.−1e二、填空题（共4小题；共20分）13.2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N=______．14.2x−y5的展开式中，x2y3的系数为______．15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若∣PQ∣=a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为______．16.已知Sn为数列an的前n项和，a1=1，2Sn=n+1an，若存在唯一的正整数n使得不等式an2−tan−2t2≤0成立，则实数t的取值范围为______．三、解答题（共7小题；共91分）17.如图，平面四边形ABCD中，AB=5，AD=22，CD=3，∠CBD=30∘，∠BCD=120∘，求：（1）∠ADB；（2）△ADC的面积S． 18.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD是等腰梯形，EF∥BD，EF=12BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（1）证明：DE∥平面ACF；（2）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A−BF−D的余弦值．19.第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．下表是前五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）． 第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（1）根据表格中数据完成前五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜2016年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．20.已知抛物线C：y2=2px经过点M2,2，C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（1）求线段ON的长； （2）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l2于点E，若直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点?请说明理由．21.已知函数fx=ex+ax2−2ax−1．（1）当a=12时，讨论fx的单调性；（2）设函数gx=fʹx，讨论gx的零点个数．若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有−∞和+∞的区间）．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A33,π2，B3,π3，圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．23.已知函数fx=∣x∣−∣2x−1∣，记fx>−1的解集为M．（1）求M；（2）已知a∈M，比较a2−a+1与1a的大小． 答案第一部分1.B2.A3.C4.C5.B6.C7.B8.B9.A10.B11.D12.A第二部分13.20014.−4015.25516.−2,−1∪12,1第三部分17.（1）在△BCD中，由正弦定理，得BD=CDsin∠CBD⋅sin∠BCD=312×32=3．在△ABD中，由余弦定理，得cos∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=222+32−522×22×3=22.所以∠ADB=45∘．      （2）因为∠CBD=30∘，∠BCD=120∘，所以∠CDB=30∘．因为sin∠ADC=sin45∘+30∘=6+24，所以S=12AD⋅CD⋅sin∠ADC=12×22×3×6+24=3+32. 18.（1）设AC，BD的交点为O，则O为BD的中点，连接OF．由EF∥BD，EF=12BD，得EF∥OD，EF=OD，所以四边形EFOD为平行四边形，故ED∥OF．又ED⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，所以DE∥平面ACF．      （2）取EF的中点P，连接OP．因为四边形EFBD为等腰梯形，所以OP⊥BD．又平面EFBD⊥平面ABCD，交线为BD，所以OP⊥平面ABCD．如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．S梯形EFBD=12EF+BD⋅OP=12×2+22⋅OP=3，所以OP=2，所以A2,0,0，B0,2,0，C−2,0,0，F0,22,2，所以AB=−2,2,0，BF=0,−22,2．设平面ABF的一个法向量为n=x,y,z，由n⋅AB=0,n⋅BF=0得−2x+2y=0,−22y+2z=0,令z=1，得y=2，x=2，则平面ABF的一个法向量为n=2,2,1．因为AO⊥BD，所以AO⊥平面EFBD，故平面EFBD的一个法向量为OA=2,0,0．于是cos⟨OA,n⟩=OA⋅n∣OA∣⋅∣n∣=2222+22+1×2=23． 由图可知所求的二面角是锐角，故二面角A−BF−D的余弦值为23．19.（1）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．      （2）X的可能取值为0，1，2，3，设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙猜中国代表团获得的金牌数多，则PX=0=PA⋅PB⋅PC=1−452×1−35=2125,PX=1=PABC+PABC+PABC=C21×45×1−45×1−35+1−452×35=19125,PX=2=PABC+PABC+PABC=452×1−35+C21×45×1−45×35=56125,PX=3=PA⋅PB⋅PC=452×35=48125．故X的分布列为X0123P2125191255612548125EX=0×2125+1×19125+2×56125+3×48125=115．20.（1）由抛物线C：y2=2px经过点M2,2，得22=4p，故p=1，C的方程为y2=2x．C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=2x，则yʹ=12x故C在点M处的切线斜率为12，切线的方程为y−2=12x−2． 令y=0得x=−2，所以点N的坐标为−2,0．故线段ON的长为2．      （2）l2恒过定点2,0，理由如下：由题意可知l1的方程为x=−2，因为l2与l1相交，故m≠0，由l2：x=my+b，令x=−2，得y=−b+2m，故E−2,−b+2m．设Ax1,y1，Bx2,y2，由x=my+b,y2=2x,消去x得：y2−2my−2b=0，则y1+y2=2m,y1⋅y2=−2b．直线MA的斜率为y1−2x1−2=y1−2y122−2=2y1+2，同理直线MB的斜率为2y2+2．直线ME的斜率为2+b+2m4．因为直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，所以2y1+2+2y2+2=2×2+b+2m4=1+b+22m，即2y1+y2+42y1+y2y1y2+4=1+4−y1y22y1+y2y1y2+4=1+b+22m整理得：b+22m−b+2，因为l2不经过点N，所以b≠−2，所以2m−b+2=2m，即b=2．故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点2,0．21.（1）当a=12时，fʹx=ex+x−1．易知fʹx在R上单调递增，且fʹ0=0．因此，当x<0时，fʹx<0；当x>0时，fʹx>0．故fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增．      （2）由条件可得gx=ex+2ax−2a，gʹx=ex+2a．（Ⅰ）当a=0时，gx=ex>0，gx无零点．（Ⅱ）当a>0时，gʹx>0，gx在R上单调递增，g0=1−2a，g1=e>0． ①若1−2a<0，即a>12时，g0=1−2a<0，gx在0,1上有一个零点．②若1−2a=0，即a=12时，g0=0，gx有一个零点0．③若1−2a>0，即00，得x>ln−2a；令gʹx<0，得x0，gx无零点．②若ln−2a−2=0，即a=−e22时，g2=0，gx有一个零点2．③若ln−2a−2>0，即a<−e22时，g1=e>0，gln−2a<0，gx在1,ln−2a上有一个零点．设hx=ex−x2x≥1，则hʹx=ex−2x．设ux=ex−2x，则uʹx=ex−2，当x≥1时，uʹx=ex−2≥e−2>0，所以ux=hʹx在1,+∞上单调递增．hʹx≥hʹ1=e−2>0，所以hx在1,+∞上单调递增．hx≥h1=e−1>0，即x>1时，ex>x2，故gx>x2+2ax−2a．设kx=lnx−xx≥1，则kʹx=1x−1=1−xx≤0，所以kx在1,+∞上单调递减，kx≤k1=−1<0，即x≥1时，lnxe2>1，所以ln−2a<−2a．又g−2a>−2a2+2a−2a−2a=−2a>0， 所以gx在ln−2a,−2a上有一个零点，故gx有两个零点．综上，当a<−e22时，gx在1,ln−2a和ln−2a,−2a上各有一个零点，共有两个零点；当a=−e22时，gx有一个零点2；当−e2212时，gx在0,1上有一个零点．22.（1）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x．故在平面直角坐标系中，圆的标准方程为x−12+y2=1．      （2）在平面直角坐标系中，A0,33，B32,332，所以AB=32−02+332−332=3，直线AB的方程为3x+y=33．所以圆心1,0到直线AB的距离d=3−334=3．又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为3+1．故△ABP面积的最大值为S=12×3+1×3=33+32．23.（1）fx=∣x∣−∣2x−1∣=x−1,x≤03x−1,0−1或0−1或x≥12,−x+1>−1,解得00，所以a2−a+1>1a．综上所述，当01a．