2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试（理）

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1、2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试（理）一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合A=x,yx,y为实数,且x2+y2=1，B=x,yx,y为实数,且y=x，则A∩B的元素个数为______A.0B.1C.2D.32.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是1,0,1，1,1,0，0,1,1，0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为______A.B.C.D.3.圆x+22+y2=4与圆x−22+y−12=9的位置关系为______A.内切B.相交C.外切D

2、.相离4.下列命题中正确的有______个．①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行．②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形．④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．A.1B.2C.3D.45.直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠BAC=90∘，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于______A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘6.已知过点A−2,m和Bm,4的直线与直线2x+y−1=0平行，则m的值为____

3、__A.0B.−8C.2D.107.已知x，y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4，则a=______A.3B.2C.−2D.−38.过点P1,1的直线，将圆形区域x,yx2+y2≤4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______A.x+y−2=0B.y−1=0C.x−y=0D.x+3y−4=09.过点Aa,a可作圆x2+y2−2ax+a2+2a−3=0的两条切线，则实数a的取值范围为______A.a<−3或13210.若A，B是

4、球O的球面上两点，∠AOB=90∘，C为该球面上的动点，若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为______A.36πB.64πC.144πD.256π11.已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中______A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线"AC与BD"，"AB与CD"，"AD与BC"均不垂直12.在平面直角坐标系中，两点P1x1,y1，P2x2,y2

5、间的“L−距离”定义为P1P2=x1−x2+y1−y2．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L−距离”之和等于定值（大于F1F2）的点的轨迹可以是______A.B.C.D.二、填空题（共4小题；共20分）13.已知两直线l1:ax−2y+1=0，l2:x−ay−2=0．当a=______时，l1⊥l2．14.在平面直角坐标系xOy中，点A−2,6关于直线3x−4y+5=0的对称点的坐标为______．15.已知x2+y2=4x，则x2+y2的取值范围是______．16.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−

6、m+3=0交于点Px,y，则∣PA∣⋅∣PB∣的最大值是______．三、解答题（共5小题；共65分）17.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60∘．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．18.Sn为数列an的前n项和，已知an>0，an2+2an=4Sn+3．（1）求证：an为等差数列；（2）设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点E，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A

7、1−BD−B1的平面角的余弦值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:x+32+y−12=4和圆C2:x−42+y−52=4．（1）若直线l过点A4,0，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．21.已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标．（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程，

8、并求出轨迹C中x的取值范围．（3）是否存在实数k，使得直线L:y=kx−4与曲线C只有一个交点?若存在，求出k的取值范围：若不存在，说明