2016年河北省衡水中学高三文科一模数学试卷

《2016年河北省衡水中学高三文科一模数学试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2016年河北省衡水中学高三文科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知i是虚数单位，则2−i1+2i=  A.−iB.45+35iC.−1D.45−i2.若全集U=R，集合A=x1<2x<4，B=xx−1≥0，则A∩∁UB=  A.x12”是“函数fx=m+log2xx≥12不存在零点”的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设变量x，y满足约束条件2x+y−2≥0,x−2y+4≥0,x−1≤0,则目标函数z=2y−3x的最大值为  A.−3B.2C.3D.48.如图，在矩形ABCD中，AB=32，BC=2，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A−BCD的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A−BCD的侧视图的面积为  A.925B.1825C.3625D.1259.执行如图所示的程序框图，输出z的值为  第10页（共10页） A.−1008×2015B.1008×2015C.−1008×2017D.1008×201710.已知函数fx=sin2x+φ，其中φ为实数，若fx≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2>fπ，则fx的单调递增区间是  A.kπ−π3,kπ+π6k∈ZB.kπ,kπ+π2k∈ZC.kπ+π6,kπ+2π3k∈ZD.kπ−π2,kπk∈Z11.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⋅OB=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是  A.28B.24C.22D.212.已知直线y=kx与函数fx=2−12x,x≤012x2−x+1,x>0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数k的取值范围是  A.2−1,+∞B.0,2−1C.−2−1,2−1D.−∞,−2−1∪2−1,+∞二、填空题（共4小题；共20分）13.从编号为001，002，⋯，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，⋯，则样本中最大的编号应该为 ．14.已知向量a=m,2，向量b=2,−3，若a+b=a−b，则实数m的值是 ．15.已知定义在R上的奇函数fx满足f32−x=fx，f−2=−3，数列an的前n项和为Sn，且a1=−1，Sn=2an+nn∈N*，则fa5+fa6= ．16.已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD体积的最大值为 ．第10页（共10页） 三、解答题（共8小题；共104分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos2A−3cosB+C=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=53，b=5，求sinBsinC的值．18.现从某100件中药材中随机抽取10件，以这10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（1）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总质量；（2）记质量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的质量之差不超过2克的概率；19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．20.已知圆O:x2+y2=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为22的椭圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，交x轴于点E−2,0，且EG=3HE，试求此时弦PQ的长．21.已知函数fx=k+4klnx+4−x2x，其中常数k>0．（1）讨论fx在0,2上的单调性；（2）若k∈4,+∞，曲线y=fx上总存在相异的两点Mx1,y1，Nx2,y2，使得曲线y=fx在M，N两点处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．22.如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．第10页（共10页） （1）求证：BC2=AC⋅BP；（2）若EC=25，求PB的长．23.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+t,y=t+1（t为参数），在以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P的方程为ρ2−4ρcosθ+3=0．（1）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设曲线C和曲线P的交点为A，B，求∣AB∣．24.已知函数fx=∣2x−1∣+∣2x−3∣，x∈R．（1）解不等式fx≤5；（2）若不等式m2−m2时，fx>1，不存在零点．若函数fx不存在零点，则m>1，所以“m>2”是“函数fx=m+log2xx≥12不存在零点”的充分不必要条件．7.D【解析】满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．当y=z+3x2经过点C0,2时，目标函数z=2y−3x取得最大值为4．8.B【解析】由正视图及俯视图可得在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为32×2322+22=65的等腰直角三角形，其面积为12×652=1825．9.A【解析】第一次运行时，S=121，a=2；第二次运行时，S=121+2，a=3；第三次运行时，S=121+2+3，a=4；第四次运行时，S=121+2+3+4，a=5；⋯⋯，以此类推，第2015次运行时，S=121+2+3+4+⋯+2015，a=2016，此时满足a>2015，结束循环，输出z=log2121+2+3+4+⋯+2015=−1+20152×2015=−1008×2015．第10页（共10页） 10.C【解析】∵fx≤fπ6对x∈R恒成立，∴fπ6为函数fx的最大值，即sinπ3+φ=1，∴π3+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π6k∈Z．由fπ2>fπ，可知sinπ+φ>sin2π+φ，即sinφ<0，∴φ=2k+1π+π6k∈Z，代入fx=sin2x+φ，得fx=−sin2x+π6，由2kπ+π2⩽2x+π6⩽2kπ+3π2k∈Z，解得kπ+π6⩽x⩽kπ+2π3k∈Z．11.B【解析】由题意，设Aa2,a，Bb2,bab<0，所以OA⋅OB=a2b2+ab=2⇒ab=−2．又因为F为抛物线y2=x的焦点，所以F14,0．所以S△AFO+S△BFO=12×14×b−a．因为b−a2=a2+b2−2ab≥−2ab−2ab=−4ab=8，当且仅当a=−b时，等号成立，所以b−amin=22，S△AFO+S△BFO的最小值为24．12.A【解析】作出函数fx=2−12x,x≤012x2−x+1,x>0的图象，直线y=kx与函数y=2−12x（x≤0）的图象有一个交点，故要使直线与函数fx有三个交点，只需直线y=kx与函数y=12x2−x+1（x>0）的图象有两个交点，即方程kx=12x2−x+1（x>0）有两个根，即方程x2−21+kx+2=0的判别式Δ=41+k2−8>0，所以k>2−1或k<−2−1，由函数图象可知k>0，所以k>2−1．第二部分13.482【解析】由题意可知系统抽样的每组元素个数为32−7=25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500−25+7=482．14.3【解析】因为a+b=a−b，所以a⋅b=0，所以a⋅b=2m−6=0，解得m=3．15.3第10页（共10页） 【解析】因为奇函数fx满足f32−x=fx，所以f32−x=fx=−f−x，所以f32−x=−f−x，fx=−fx+32=fx+3，所以fx是周期为3的周期函数，又Sn=2an+n ⋯⋯①，所以Sn+1=2an+1+n+1 ⋯⋯②，②−①，可得an+1=2an−1，又a1=−1，所以a5=−31，a6=−63，所以fa5=f−31=f−1=f2=3，fa6=f−63=f0=0，所以fa5+fa6=3．16.23【解析】由题知AC2=BC2+AB2，所以∠ABC=90∘，设AC的中点为E，球的半径为R，过A，B，C三点的截面圆半径r=AE=12AC=1，由球的表面积为25π4知4πR2=25π4，解得R=54，因为△ABC的面积为12AB×BC=1，所以要使四面体ABCD体积最大，则D为直线DE与球的交点且球心在线段DE上，所以球心到过A，B，C三点的截面的距离d=R2−r2=34，所以DE=34+54=2，所以四面体ABCD体积的最大值为13×1×2=23．第三部分17.（1）由cos2A−3cosB+C=1，得2cos2A+3cosA−2=0，即2cosA−1cosA+2=0，解得cosA=12或cosA=−2（舍去）．因为0b>0，则a=22,ca=22,从而a=22,c=2.故b=2，所以椭圆的标准方程为x28+y24=1．      （2）设Gx1,y1，Hx2,y2，则x12+2y12=8,x22+2y22=8. ⋯⋯①因为EG=3HE，所以x1+2,y1=3−2−x2,−y2，即x1=−8−3x2,y1=−3y2.将x1，y1代入①，解得x2=−83,y2=−23（舍去正值），所以kPQ=1，所以PQ:x−y+2=0，从而圆心O0,0到直线PQ的距离d=22=2，所以∣PQ∣=2R2−d2=26．21.（1）fʹx=k+4kx−4x2−1=−x−kx−4kx2x>0,k>0，第10页（共10页） ①当02，所以x∈0,k，fʹx<0，x∈k,2，fʹx>0，所以函数fx在0,k上单调递减，在k,2上单调递增；②当k=2时，4k=k=2，fʹx=−x−22x2<0恒成立，所以函数fx在0,2上单调递减；③当k>2时，0<4k<2，0<4k0，所以函数在0,4k上单调递减，在4k,2上单调递增．      （2）由题意，fʹx1=fʹx2（x1,x2>0且x1≠x2），即k+4kx1−4x12−1=k+4kx2−4x22−1，化简得4x1+x2=k+4kx1⋅x2，而x1⋅x216k+4k对k∈4,+∞恒成立．令gk=k+4k，gʹk=1−4k2=k+2k−2k2>0对k∈4,+∞恒成立，所以gk≥g4=5，所以16k+4k≤165，所以x1+x2>165，即x1+x2的取值范围是165,+∞．22.（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB=90∘．又AC∥BP，所以∠ACB=∠CBP，∠ECA=∠P．因为EC为圆O的切线，所以∠ECA=∠ABC，所以∠ABC=∠P，所以△ACB∽△CBP，所以ACBC=BCBP，即BC2=AC⋅BP．      （2）因为EC为圆O的切线，EC=25，AB=8，所以EC2=EA⋅EB=EAEA+AB，所以EA=2．因为∠ECA=∠ABC，第10页（共10页） 所以△ACE∽△CBE，所以ACBC=EAEC=15．因为AB为圆O的直径，所以∠ACB=90∘，所以AC2+BC2=AB2，所以AC=463，由ACBP=EAEB可得PB=2063．23.（1）曲线C的普通方程为x−y−1=0，曲线P的直角坐标方程为x2+y2−4x+3=0．      （2）曲线P可化为x−22+y2=1，表示圆心为2,0，半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为d=12=22，所以∣AB∣=2r2−d2=2．24.（1）原不等式等价于x<12,4−4x≤5 ⋯⋯①或12≤x≤32,2<5 ⋯⋯②或x>32,4x−4≤5. ⋯⋯③解①求得−14≤x<12，解②求得12≤x≤32，解③求得32