高中数学易错题集锦

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1、高中数学易错题集锦高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。●忽视等价性变形，导致错误。x>0x+y>0x>1x+y>3⇔，但与不等价。y>0xy>0y>2xy>2x【例1】已知f(x)=ax+，若−3≤f(1)≤0,3≤f(2)≤6,求f(3)的范围。b−3≤a+b≤0①错误解法由条件得b3≤2a+≤62②②×2－①6≤a≤15③8b2①×2－②得−≤

2、≤−④33310b431043③+④得≤3a+≤,即≤f(3)≤.33333x错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)=ax+，其值b是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。f(1)=a+b正确解法由题意有b,解得：f(2)=2a+212a=[2f(2)−f(1)],b=[2f(1)−f(2)],33b1651637∴f(3)=3a+=f(2)−f(1).把f(1)和f(2)的范围代入得≤f(3)≤.39933在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌

3、握基础知识，才能反思性地看问题。●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】解下列各题222(1)设α、β是方程x−2kx+k+6=0的两个实根，则(α−1)+(β−1)的最小值是49(A)−(B)8(C)18(D)不存在4思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k,αβ=k+6,2222∴(α−1)+(β−1)=α−2α+1+β−2β+12=(α+β)−2αβ−2(α+β)+23249=4(k−)−.4449有的学生一看到−，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体4现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案

4、的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根α、β2∴∆=4k−4(k+6)≥0⇒k≤−2或k≥3.22当k≥3时，(α−1)+(β−1)的最小值是8；22当k≤−2时，(α−1)+(β−1)的最小值是18这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。2y222(2)已知(x+2)+=1,求x+y的取值范围。4222228228错解由已知得y=－4x－16x－12，因此x+y=－3x－16x－12=－3(x+)+33828282222∴当x=－时，x+y有最大值，即x+y的取值范围是(－∞,]。333分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。22yy22

5、事实上，由于(x+2)+=1⇒(x+2)=1－≤1⇒－3≤x≤－1，4422从而当x=－1时x+y有最小值12822∴x+y的取值范围是[1,]。32x注意有界性：偶次方x≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数a>0，圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。1122【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)+(b+)的最小值。ab1212221121错解(a+)+(b+)=a+b+++4≥2ab++4≥4ab•+4=8,22abababab1212∴(a+)+(b+)的最小值是8.ab221分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一

6、次等号成立的条件是a=b=,21第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小ab值。2211221121122原式=a+b+++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+)－]+42222abababab1=(1－2ab)(1+)+4，22aba+b211111由ab≤()=得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，22222422abab1251∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，222121225∴(a+)+(b+)的最小值是。ab2●不进行分类讨论，导致错误n【例4】已知数列{a}的前n项和S=2+1，求

7、a.nnnnn−1nn−1n−1错误解法a=S−S=(2+1)−(2+1)=2−2=2.nnn−11−1错误分析显然，当n=1时，a=S=3≠2=1。11错误原因：没有注意公式a=S−S成立的条件是。nnn−1S1(n=1)因此在运用an=Sn−Sn−1时，必须检验n=1时的情形。即：an=。S(n≥2,n∈N)n●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)