高中数学易错题集锦.doc

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1、高中数学易错题集锦指导教师：任宝安参加学生：路栋胡思敏李梅张大山高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误。Û，但与不等价。【例1】已知f(x)=ax+，若求的范围。错误解法由条件得②×2－①①×2－②得+得错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一

2、定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有,解得：把和的范围代入得在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】解下列各题(1)设是方程的两个实根，则的最小值是思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能

3、从中选出正确答案。原方程有两个实根∴Þ当时，的最小值是8；当时，的最小值是18这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2)已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞,]。分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+=1Þ(x+2)2=1－≤1Þ－3≤x≤－1，从而当x=－1时x2+y2有最小值1∴x2+y2的取

4、值范围是[1,]。注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。原式=

5、a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4=(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，∴(a+)2+(b+)2的最小值是。●不进行分类讨论，导致错误【例4】已知数列的前项和，求错误解法错误分析显然，当时，。错误原因：没有注意公式成立的条件是。因此在运用时，必须检验时的情形。即：。●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全

6、部答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法，。错误分析在错解中，由，时，应有。在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意ÞÞ,即因为，所以所以解得说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。错误解法设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为

7、，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法

8、①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k=,∴所求直线为综上，满足条件的直线为：《章节易错训练题》1、已知集合M={直线}，N={圆}，则M∩N中元素个数是A(集合元素的确定性)(A)0(B