一些数论函数性质及其均值研究论文

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1、一些数论函数的性质及其均值的研究摘要数论这门古老的学科是纯粹数学的一个分支，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程整数解的一门学科，数论函数是初等数论中的一个重要部分．数论函数是指定义在正整数集合上的函数．研究数论函数均值是数论函数的一个重要研究课题．本论文中，我们主要研究了三个问题中的有关数论函数以及数论函数的均值．首先，讨论的问题是法国数学家PierredeFermat在1640年提出的猜想，当n为正整数时，具有形式R=22“+1的数R是否一定为素数，以及第一个解决这个问题的瑞士数学家和物理学家LeonhardEuler首先提出的函数欧拉函数之前的联系，给出了他

2、们之间的一个等价命题．然后，我们又研究了欧拉函数的性质，观察欧拉函数值的分布，提出研究不属于欧拉函数值域的正偶数的特点，进而欧拉函数的反函数的一些性质，研究了非欧拉商数的分布规律，给出了部分非欧拉商数的构造方法．最后，我们还探讨了一个关于Smarandache教授提出的伪n倍数序列问题．给出了当z取特定值时序列的精确部分和以及当z取任意值时序列的部分和的渐近公式．关键词：费马数；费马素数；欧拉函数；非欧拉商数；伪n倍数序列SOMEARITHMETlCALFUNCTIONSANDITSMEANVALUEABSTRACTNumbertheoryisabranchofpurema

3、thematics，elementarynumbertheoryisbasedondivisibilitytheory，asubjectofstudytheintegernatureandtheintegersolutionofequation，arithmeticalfunctionisanimportantpartinelementarynumbertheory．Arithmeticalfunctionisdefinedonthesetofpositiveintegersonthefunction．Theresearchonthemeanvalueofarithmeti

4、calfunctionsisanimportantsubject．Inthisthesis，wemainlystudythethreeproblemsofnumbertheoryfunctionandthemeanvalueofnumbertheoryfunctionFirst，wediscussthequestionraisedbytheFrenchmathematicianPierredeFer—matin1640that，when孢isapositiveinteger,RoftheformR=22”+1isprimeAndtheEuler’Stotientfuncti

5、onraisedbytheSwissmathematicianandphysicistLeon—hardEulerWhofirstfoundacounterexampleofFermat’Sconjecture．Thenwegiveanequivalentpropositionbetweenthem．Then，westudythepropertiesoftheEuler’Stotientfunction，thedistributionoftheEulerfunctionvalue，somepropertiesoftheinverseofthetotientfunction，

6、studythedistributionofnontotients，weproposeamethodtOconstructapartofnontotients．Finally，wealsodiscussapseudo—multiple(ofn)sequenceproblemproposedbySmarandache．Andgetthemeanvalueofthepseudo—multiple(ofn．)KEYWORDS：Fermatnumber；Fermatprime；Euler’Sorientfunction；Non—totient；pseudo—multiple(of扎

7、)Ⅱ目录摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯IABSTRACT⋯．⋯⋯⋯．．．．．⋯．⋯．⋯⋯⋯⋯．．．．．．．．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．Ⅱ目录⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯IⅡ1绪论．⋯⋯⋯⋯⋯⋯．。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。．11．1问题的研究背景与现状⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．11．2主要成果和内容组织，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。⋯⋯⋯。⋯⋯⋯⋯21_3预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．32第六个费马素数存在性的一个等价命题⋯⋯⋯⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯