控制受约束的随机线性二次最优控制

《控制受约束的随机线性二次最优控制》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、万方数据第一章引言本文考虑控制约束为瓞?的随机LQIh]题，证明了值函数V(t，X)关于时间变量t是Lipschitz连续的、关于初值变量x一阶连续可微且是凸的，进一步证明了值函数是HJB方程的强解(即值函数几乎处处满足HJB方程)，通过值函数关于变量X的一阶偏导数给出最优控制的表达式．文章后面内容的结构如下：第二章先描述一般的最优控制问题，介绍最大值原理和动态规划原理以及它们的联系．然后介绍如何通过Riccati方程解决无约束的SLQ(司题．第三章讨论控制含有约束的SLQf司题．引入投影算子和拉回算子，证明最优控制的存在唯一性．随后证明了值函数v(t，x)关

2、于t是Lipschitz连续的以及关于X是连续可微且凸的，在此基础上证明了值函数是HJB方程的强解，通过值函数关于X的一阶偏导数给出最优控制的表达式．论文最后指出了需要进一步研究的一些问题．4万方数据第二章基础知识弟一早圣口函大U以§2．1随机最优控制问题设{w(f)：t≥sJ是给定概率空间(Q，y-，p)上的d维{z5}仞标准Brown运动，其中冗5=o-(o-({W(r)：S≤r≤f})uⅣ)，Ⅳ是所有p一零测集．当s∈[0，丁]，考虑扩散项不含控制的系统方程：{dx(D=易(‘x(D，“(D)d‘+旷(‘工o))dw(D，‘∈[s，丁】，(2．1．1)I

3、x(J)=Y，Y∈肽’2和代价函数：耶鸬删=E{，71m川川)¨m(丁))l(2．1．2)的随机最优控制问题，就是在允许控制集彩[s，丁]：q／[s，丁]全{M：Is，丁】×Q—UI“是{冗5}，≥，适应的}(2．1．3)中寻找瓦(．)∈彩【s，T]，使：地y，引)-㈣。i彩nfMJ(5，)，，“(‘))-(2·l·4)记i(．)全X(．；瓦(．))，(夏(．)，瓦(．))称为随机最优控制问题的最优对§2．2最大值原理最大值原理是求最优控制的基本工具，它描述了最优控制应当满足的条件．假设：(S1)集合Uc瓞”是R⋯中的Borel集．(S2)函数b：【0，T】×

4、R’1×U—÷瓞”，旷：【0，r】×R”—÷憾似d，f：【O，T]×R”×U_R，h：瞅一瓞可测，且存在L>0和模连续的石：【0，oo)j【0，。o)，使得当5万方数据第二章基础知识妒=b，矿，^h时，满足：妒(f，X，U)一妒(f，-2，瓦)I≤LIx一-2l+石(IM一瓦1)，Vt∈[0，丁]，X，夏∈R”，U，瓦∈∽(2．2．1)妒(f，0，“)l≤L，V(f，曲∈[0，T]×U(S3)函数妒=b，正工向关于变量x是C2的，且存在L>0和模连续的石：[0，oo)一[0，co)，使得当妒=b，矿，^h时，满足：妒，(^X，“)一妒。(r，夏，瓦)I≤LIx

5、—XI+石(I“一瓦f)，qo,-x(t，X，“)一妒，。(f，i，瓦JI≤石(1x—XI+lu一瓦I)，(2．2．2)Vt∈[0，丁】，X，-2∈R”，“，-ff∈U．考虑倒向随机微分方程：dp(t)=一Ib，(r，-2(t)，瓦(r))Tp(f)+∑?：l一(，，夏(f)，瓦(f))Tqj(t)一L(t，x(，)，瓦(r))}df+g(f)dW(f)，t∈【S，丁]，p(T)=一hx(i(丁))．(2．2．3)记诈(s，丁；觥)={“：Is，丁】xQ_UI“是{霄}伽-适应的瓞”值过程，且满足Ef7’I酬2dt

6、妻(s，T；N”)×彩[s，丁]，在问题满足的假设条件下，(2．2．3)有唯一适应解(p(·)，q(·))∈L≥沁T；R”)×(碜(s，T；R’1))d(请参见文献[24】第七章)．(2．2．3)称为最优控制问题的对偶方程．定义Hamilton函数为：H(f，z，“，p，g)=(p，易(t,x,u))+‘r[qTo-(‘，x)]一f(t,x,u)，(2．2．4)(f，X，M，P，q)∈Is，丁】×Ⅱ匙”×UXⅡ廷”×R”×d，6万方数据第二章基础知识其中(p(·)，g(·))是(2．2．3)的解．矿=O时，(2．2．4)和确定性系统对于Hamilton函数定义

7、是一致的．随机最大值原理(SMP)为：H(t，-5(t)，if(t)，p(f)，g(f))=ma．x．H(t，i(f)，U，p(f)，g(f))，a．e．f∈【s，丁]，p一日．s．“∈U(2．2．5)注2．2．】．SLQIh]题不满足假设(S2)，但由于系统参数关于状态变量和控制变量是线性的，代价泛函关于状态状态变量和控制变量是二次的，类似【24]第三章中的证明，可验证SLQ问题也满足最大值原理．也可参见【24]第六章．此部分更多内容请参见文献【24】第三章．§2．3动态规划原理禾nHJB方程动态规划原理也是求最优控制的基本工具．它给出了Hamilton—J

8、acobi—Bellman方程，如果方