第4章_随机变量的数字特征.doc

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1、第四章随机变量的数字特征本章学习要求1．理解随机变量的数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切贝雪夫不等式．在前面两章中，我们讨论了一维随机变量和多维随机变量及其分布，知道随机现象的统计规律性可以由随机变量的分布函数完全刻画，从而，对随机现象的研究就归结于对随机变量及其分布的研究．然而，在实际应用中，人们对于随机变量的精确分布有时并没有太多的兴趣，感兴趣的是一些能够反映随机变量某些特征

2、的指标，例如：每个家庭的收入都是一个随机变量，人们常关心的是这个国家的平均家庭收入，平均收入越高，这个国家就越富裕．同时，若要考查这个国家的贫富分化是否严重，就要考虑各个家庭收入与平均家庭收入的偏离程度，偏离程度越小，表明分化就越小．像平均数、偏离程度等等，这种由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某些方面特征的量统称为数字特征，它们在理论上和实际应用中有着重要的作用．本章就将介绍几个重要的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩．§4.1数学期望随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一，下面先介

3、绍离散型随机变量的数学期望．一、离散型随机变量的数学期望定义1设为离散型随机变量，其分布律为176若绝对收敛，则称为的数学期望(也称均值(mean))(mathematicalexpectation)，记为．即．换言之，离散型随机变量的数学期望就是所有可能取值的加权平均，其中每一个取值的权重等于取这个值的概率．【例1】掷一个均匀的骰子，其结果是一个随机变量，设为，试求．解因为的分布律为所以．【例2】在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有个人，可用两种方法进行检验：(1)将每个人

4、的血液分别检验，这就需要检验次．(2)先把受检验者分组，假设每个组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，如果检验的结果为阴性，这说明个人的血液都是阴性，因而这个人只需检验一次就够了．若结果呈现阳性，为了明确个人中究竟哪个人为阳性，就需要对这个人逐一检验，这时这个人的检验次数为次，检验的工作量反而增加．假设每个人检验呈阳性的概率为，且这些人的试验是相互独立的．试说明当较小的时候，按第二种方法可以减少检验次数．解显然，若利用第二种方法，则个人需要的检验次数可能为1次，也可能是要次，它是一个随机变量，为了和

5、第一种方法比较工作量的大小，就需要求出它的平均值．由于各人的试验都是相互独立的，并且每个人检验呈阳性的概率为，呈阴性的概率为，这时个人一组的混合血液为阴性的概率为，呈阳性的概率为．令表示个人为一组混合检验时，每人所需的检验次数，由上述讨论可知176的分布律为由此即可得到每个人所需的平均检验次数为．按第一种方法每人应检验1次，所以当，即时，用分组的方法就能减少检验的次数．下面我们讨论几个典型的离散型随机变量的数学期望．【例3】设服从0-1分布，求．解因为的分布律为01所以．【例4】设，求．解因为的分布律

6、为．所以．【例5】设，求．176解因为的分布律为．所以．若为离散型随机变量，且其分布律已知，从而的函数也是离散型随机变量，且的分布律可由的分布律计算得到，于是就可以根据数学期望的定义，求出．【例6】设的分布律为-101求．解令，则的分布律为01所以．尽管用上述方法总能由的分布律求出的任一已知函数的数学期望，但通常情况下，有一种更容易的方法来计算．即可以通过下面的定理来求的数学期望．定理1设为离散型随机变量，其分布律为176对任一实值函数，若绝对收敛，则有．这个定理的结论是很直观的，其证明过程在此略去．

7、这个定理的意义在于计算的数学期望时，不需要首先计算的分布律，而只要直接利用的分布律即可．将这个定理应用到例6，可得：．与前面所得结果一致．【例7】由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布，内径小于10或大于12的为不合格，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润(元)与销售内径的关系为问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大?解因为，即，令和分别为标准正态分布的分布函数和密度函数．，，．由销售利润和的关系得：．因为176．当时，取最大值，所以．即，故(毫米)．上

8、面的定理还可以推广到多个随机变量的函数的情况．定理2设是离散型随机变量，其分布律为．若级数绝对收敛，则有．【例8】设的分布律为求．解．二、连续型随机变量的数学期望定义2设为连续型随机变量，其概率密度为，若积分绝对收敛，则称为的数学期望(或均值)(mathematicalexpectation)，记为．即176．【例9】设的概率密度为求．解．下面介绍几个典型的连续型随机变量的数学期望．【例10】设，求．解由于的概率密度为所以．【例11】设，求．解由于的概率