第4章__随机变量数字特征(定稿)

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1、第4章随机变量的数字特征课前预习导本章（数字特征）学习的知识类型离散型随机变量连续型随机变量数学期望的定义设离散型随机变量的概率分布为：若级数绝对收敛，则称为的数学期望，简称期望或均值，记作，即.设连续型随机变量的概率密度为，如果广义积分绝对收敛，则称为的数学期望，简称期望或均值，记作，即数学期望的性质①若为常数，则；②如果是随机变量，是常数，则；③如果是二维随机向量，则；推广：④如果是二维随机向量，且和相互独立，则.推广：当相互独立时，有方差定义设随机变量的数学期望以及都存在，则称为的方差，记作，即.且称为的标准差.常用简易公式：.

2、方差计算若离散型随机变量的概率分布为，则如果是连续型随机变量，其概率密度为，那么41方差的性质①如果是一个常数，则；②如果是一个常数，则；③如果是一个常数，则；④设和相互独立，则；推论：如果相互独立，是任意常数，那么.⑤函数，当时取最小值；⑥切比雪夫不等式随机变量的数学期望与方差都存在，则对任意实数，有常见分布的数字特征类型两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布期望方差随机变量函数的数学期望（1）设离散型随机变量的概率分布为若的数学期望存在，则（2）设离散型随机向量的概率分布为若的数学期望存在，则（1）设连续型随机变量的密度

3、函数为，若的数学期望存在，则.（2）设连续型随机向量的联合密度为，若的数学期望存在，则随机向量若随机向量的每个分量的期望和方差都存在，则称为的期望向量，称为的方差向量.41的期望和方差协方差对于随机向量，称为的协方差.其性质：（1）（2）；（3）；（4）.相关系数对于随机向量，称为的相关系数.其性质：（1）（2）若（,为常数，），则当时，；当时，.（3）的充要条件是存在常数,，使.（4）若与相互独立，则.（5）若,则的相关系数为.依概率收敛的定义对随机变量序列，若存在常数,使得对任意，有，则称依概率收敛于,记作.41大数定律切比雪夫大

4、数定律：若随机变量序列独立，期望、方差均存在，且方差，则对任意有.特别地，若独立，期望相等、方差相等，则贝努利大数定律：若记参数为的重贝努利中成功的次数为则中心极限定理勒维-林德贝格定理：若随机变量序列独立同分布，，则对有.棣莫佛-拉普拉斯定理：若随机变量序列，则对有.例1某设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为0.1、0.2、0.3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数的数学期望和方差.解法1令={第个部件需调整}.且相互独立，同时需调整的部件数的所有可能值为0，1，2，3，则41解法2令={第i个部件需调整}

5、()，考虑则服从（0-1）分布，从而.又，由独立性知，独立.故=0.1+0.2+0.3=0.6注：解法二显然计算量小得多，计算中应尽量利用已知分布的数字特征.2.密度函数为分段函数的随机变量数学期望的计算要领：为了掌握分段的密度函数的数学期望的计算，需深刻理解数学期望的定义.例2设随机变量的密度函数为：求的数学期望.解直接代入公式并分段积分有.注：个别同学因为没理解数学期望的定义而分段计算数学期望.一定注意数学期望如果存在一定是唯一的.3.连续型随机变量函数数学期望的应用要领41：为了掌握求连续型随机变量函数的数学期望的技巧，关键一是

6、将应用函数的解析式写对，关键二是计算期望时针对实际问题确定合理的积分上下限.例3设某种商品的每周需求量服从[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销的商品进货数量为区间[10，30]上的某一整数，商店每销售一单位可获利500元；若供大于求则销价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元.为使商店所获利润的期望值不少于9280元，试确定最小进货量.为使期望利润最大，最佳进货量应是多少？解设为组织的货源数量，为收益，显然收益是销售量和组织货源数量的函数，由于是随机变量，所以收益也是一

7、个随机变量（组织货源量不是随机变量）.由于服从上的均匀分布，因此只需在上考虑.依题有于是为使，并找到最小的，需，解得.所以为使商店所获利润的期望值不少于9280元，最小进货量为21.为确定最佳进货量，利用微积分知识可算得.注：配方的方法是最终能求出该题的解所需的技巧.4利用依概率收敛的定义进行证明41要领：为了深刻理解大数定律，需掌握依概率收敛的概念，而依概率收敛的证明中又经常用到切比雪夫不等式.例4设是独立同分布的随机变量序列，且令证明随机变量序列依概率收敛于.证，利用切比雪夫不等式得所以.注：利用切比雪夫不等式进行不等式的放大或缩

8、小是大数定律中的最常用技巧.三、能力提升1．停下来想一想栏目解惑第4.1节随机变量的数字特征停下来想一想：这里提示，，若有公式，则.这一方法我们以后会学到的.解惑利用数字特征的性质可以通过两点分布与二项分布的关系从两点分