集合之间的关系教案

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1、§1.2集合之间的关系与运算1.2.1　集合之间的关系【学习要求】1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念．2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，能利用Venn图表达集合间的关系．3.会求已知集合的子集、真子集．4.能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来．【学法指导】通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力；学习用数学的思维方式解决问题、认识世界.填一填：知识要点、记下疑难点1.子集：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集

2、合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，读作“A包含于B”，或“B包含A”．2.子集的性质：①A⊆A(任意一个集合A都是它本身的子集)；②∅⊆A(空集是任意一个集合的子集)．3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”．4.维恩图：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图.5.集合相等：一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们就说集合A

3、等于集合B，记作A＝B.用数学语言表示为：如果A⊆B，且B⊆A，那么A＝B.6.一般地，设A＝{x

4、p(x)}，B＝{x

5、q(x)}，如果A⊆B，则x∈A⇒x∈B，即p(x)⇒q(x).反之，如果p(x)⇒q(x)，则A⊆B研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]　已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是ab，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一　子集与真子集的概念导引　前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法．下面我们来看这样三组集合：(1)A＝{1,3}，B＝{1,

6、3,5,6}；(2)C＝{x

7、x是长方形}，D＝{x

8、x是平行四边形}；(3)P＝{x

9、x是菱形}，Q＝{x

10、x是正方形}．问题1　哪些集合表示方法是列举法？哪些集合表示方法是描述法？答：集合A，B的表示是用列举法；集合C，D，P，Q的表示是用描述法．问题2　这三组集合每组彼此之间有何关系？答：集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素，集合Q中的任意一个元素都是集合P的元素．小结：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A，读作：A包含于B或B包含A.问

11、题3　类比表示两集合间子集关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处？答：在实数中如果a大于或等于b，则a，b的关系可表示为a≥b或b≤a；在集合中如果集合A是集合B的子集，则A，B的关系可表示为A⊆B(或B⊇A)．所以这是它们的相似之处．问题4　在导引中集合P与集合Q之间的关系如何表示？答：集合P不包含于Q，或Q不包含P，分别记作PQ或QP.问题5　空集与任意一个集合A有什么关系，集合A与它本身有什么关系？答：(1)空集是任意一个集合的子集；(2)任何一个集合A是它本身的子集．问题6　对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么集合A

12、与C有什么关系？答：A与C的关系为A⊆C.问题7　“导引”中集合A中的元素都是集合B的元素，集合B中的元素不都是集合A的元素，我们说集合A是集合B的真子集，那么如何定义集合A是集合B的真子集？答：如果说集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：AB(或BA)，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．问题8　集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？3/3答：能．我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．问题9　如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子

13、集？答：如图所示：例1　写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．分析：为了一个不漏地写出集合A＝{1,2,3}的所有子集，可以分类写，即空集，含一个元素的子集，含两个元素的子集，含三个元素的子集．解：集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．小结：集合A＝{1,2,3}中有三个元素，其子集的个数为8个，即23个，事实上，如果一个集合含有n个元素，则它的子集个数为2n个．跟踪训练1　写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,

14、3,4}的所有集合P.解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．此所有满足题意的